十字交叉法 那就是利用x^2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)其中PQ 为常数。x^2 是X 的平方 1.因式分解 即和差化积,其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式,则结果唯一,因为:数域 F 上的次数大于零的多项式 f(x),如果不计零次因式的差异,那么f(x)可以唯一的分解为以下形式: f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数,P1(x),P2(x)……Pi(x)是首 1 互不相等的不可约多项式,并且 Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的 Ki 重因式。 (*)或叫做多项式 f(x)的典型分解式。证明:可参见《高代》P52-53 初等数学中,把多项式的分解叫因式分解,其一般步骤为:一提二套三分组等 要求为:要分到不能再分为止。 2.方法介绍 2.1 提公因式法: 如果多项式各项都有公共因式,则可先考虑把公因式提出来,进行因式分解,注意要每项都必须有公因式。 例 15x3+10x2+5x 解析显然每项均含有公因式 5x 故可考虑提取公因式 5x,接下来剩下 x2+2x+1 仍可继续分解。 解:原式=5x(x2+2x+1) =5x(x+1)2 2.2 公式法 即多项式如果满足特殊公式的结构特征,即可采用套公式法,进行多项式的因式分解,故对于一些常用的公式要求熟悉,除教材的基本公式外,数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下: a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2 a12+a22+… +an2+2a1a2+… +2an-1an=(a1+a2+… +an)2 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+… +bn-1)(n 为奇数) 说明由因式定理,即对一元多项式f(x),若f(b)=0,则一定含有一次因式x-b。可判断当n为偶数时,当a=b,a=-b 时,均有an-bn=0 故an-bn 中一定含有a+b,a-b 因式。 例2 分解因式:①64x6-y12②1+x+x2+… +x15 解析各小题均可套用公式 解①64x6-y12=(8x3-y6)(8x3+y6) =(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4) ②1+x+x2+… +x15= =(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8) 注多项式分解时,先构造公式再分解。 2.3 分组分解法 当多项式的项数较多时,可将多项式进行合理分组,达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法,且分组方法也不一定唯一。 例1 分解因式:x15+m12+m9+m6+m3+1 解原式=(x15+m12)+(m9+m6)+(m3+1) =m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1) =(m3+1)(m12+m6++1) =(m3+1)[(m6...