基本不等式经典例题精讲VIP专享VIP免费

259237458.doc 第 1 页 共 8 页 新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4 基本不等式） 典题精讲 例1（1）已知0＜x＜31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+ x1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0 与x＜0 讨论. （1）解法一： 0＜x＜31,∴1-3x＞0. ∴y=x(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤ 31［2)31(3xx］2=121，当且仅当3x=1-3x，即x= 61时，等号成立.∴x= 61时，函数取得最大值121. 解法二： 0＜x＜31,∴31-x＞0. ∴y=x(1-3x)=3x( 31-x)≤3［231xx］2=121，当且仅当x= 31-x,即x= 61时，等号成立. ∴x= 61时，函数取得最大值121. （2）解：当x＞0 时，由基本不等式，得y=x+ x1≥ 2xx1•=2，当且仅当x=1 时，等号成立. 当x＜0 时，y=x+ x1=-［(-x)+)(1x］. -x＞0,∴(-x)+)(1x≥ 2,当且仅当-x=x1,即x=-1 时，等号成立. ∴y=x+ x1≤-2. 综上,可知函数y=x+ x1的值域为(-∞ ,-2］∪［2,+∞ ). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练 1 当x＞-1 时，求f(x)=x+11x的最小值. 思路分析：x＞-1 x+1＞0,变x=x+1-1 时x+1 与11x的积为常数. 259237458.doc 第 2 页 共 8 页 解： x＞-1,∴x+1＞0. ∴f(x)=x+11x=x+1+11x-1≥2)1(1)1(•xx-1=1. 当且仅当 x+1=11x,即 x=0 时,取得等号. ∴f(x)min=1. 变式训练 2 求函数 y=133224xxx的最小值. 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开. 解：令 t=x2+1，则 t≥1 且 x2=t-1. ∴y=133224xxx=1113)1(3)1(22tttttttt. t≥1,∴t+ t1≥2tt1•=2,当且仅当 t= t1,即 t=1 时，等号成立. ∴当 x=0 时，函数取得最小值 3. 例 2 已知 x＞0,y＞0，且 x1+ y9=1，求 x+y 的最小值. 思路分析：要求 x+y 的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会. 解法一：利用“1 的代换”, x1+ y9=1, ∴x+y=(x+y)·( x1+ y9)=10+yxx...