微分方程数值解法实验报告微分方程数值解法实验报告姓名：班级：学号：一：问题描述求解边值问题：()2(sincoscossin(0,1) (0,1)0,( , )xyuexyxyGux yG（x,y)其精确解为)sin()sin(),()(yxeyxuyx问题一：取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式，用Jacobi迭代法， Gauss_Seidel 迭代法， SOR 迭代法（w=1.45）。求解差分方程，以前后两次重合到小数点后四位的迭代值作为解的近似值，比较三种解法的迭代次数以及差分解)128/1,64/1)(,(hyxuh与精确解的精度。问题二：取步长 h=k=1/64,1/128,作五点差分格式，用单参数和双参数 PR法解差分方程，近似到小数点后四位。与SOR法比较精度和迭代步数。问题三：取步长 h=k=1/64,1/128,作五点差分格式，用共轭梯度法和预处理共轭梯度法解差分方程，近似到小数点后四位。与SOR法与 PR法比较精度和迭代步数。二．实验目的：分别使用五点差分法（ Jacobi 迭代，Gauss_Seidel 迭代，SOR迭代），PR 交替隐式差分法（单参数，双参数） ，共轭梯度法，预共轭梯度法分别求椭圆方程的数值解。三．实验原理：(1) Jacobi 迭代法设线性方程组 (1) bAx的系数矩阵 A 可逆且主对角元素均不为零 , 令并将 A分解成 (2) 从而(1) 可写成令其中. (3) 以为迭代矩阵的迭代法 ( 公式) (4) 称为雅可比 (Jacobi) 迭代法 (公式 ), 用向量的分量来表示 ,(4) 为(5) 其中为初始向量 . (2) Guass-Seidel迭代法由雅可比迭代公式可知 , 在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量 , 显然在计算第 i 个分量时, 已经计算出的最新分量没有被利用，从直观上看, 最新计算出的分量可能比旧的分量要好些. 因此，对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用 , 就得到所谓解方程组的高斯— 塞德（ Gauss-Seidel ）迭代法 . 把矩阵 A 分解成 (6) 其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分 , 于是, 方程组 (1) 便可以写成即其中 (7) nna,...,a,a2211nna,...,a,adiagD2211DDAAbxADDx11fxBxbDf,ADIB11111B111fxBxkk,...,,k,n,...,ixabaxnijj)k(jjiiii)k(i21021111Tnx,...x,xx002010kx1kx1kix1111kikx,...,x1k1kx1kjxULDAnna,...,a,adiagD2211U,LAbUxxLD22fxBxbLDf,ULDB1212以为迭代矩阵构成的迭代法( 公式) (8) 称为高斯 — 塞德尔迭代法 ( 公式), 用 量表示的形式为(3) SOR 迭代(4) 交替方向迭代法（ PR法）迭代格式为：对于单参数 PR法，对于多...
