二阶线性微分方程的解法VIP专享VIP免费

二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(xfqyypy (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中 p 、q 均为实数,)(xf为已知的连续函数. 如果0)(xf,则方程式 (1)变成 0qyypy (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理 1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211yCyCy也是式(2)的解,其中21,CC是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111qyypy 0222qyypy 将2211yCyCy代入方程(2)的左边,得 )()()(221122112211yCyCqyCyCpyCyC =0)()(22221111qyypyCqyypyC 所以2211yCyCy是方程(2)的解. 定理 1 说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,CC两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21nyyy为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21nkkk使得当在该区间内有02211nn ykykyk, 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 xx22sin,cos,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sincos122xx 又如2,,1xx在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321xkxkk 必须0321kkk. 对两个函数的情形,若21yy常数, 则1y ,2y 线性相关,若21yy常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理2 如果1y 与2y是方程式(2) 的两个线性无关的特解, 则212211,(CCyCyCy为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0yy是二阶齐次线性方程,xyxycos,sin21是它的两个解, 且xyytan21常数, 即1y,2y线性无关, 所以 xCxCyCyCycossin212211 ( 21,CC是任意常数)是方程0yy的通解. 由于指数函数rxey (r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rxey 来试着看能否选取适当的常数r ,使rxey 满足方程(2). 将rxey 求导,得 rxrxeryrey2, 把yyy,,代入方程(2 ),得 0)(2rxeqprr 因为0rxe, 所以只有 02qprr (3 ) 只要r 满足方程式(3 ),rxey 就是方程式(2 )的解. 我们把方程...