第 13讲 长方体和正方体(一) 一、知识要点 在数学竞赛中,有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点: 1.必须以基本概念和方法为基础,同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来; 2.依赖已经积累的空间观念,观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化; 3.求一些不规则的物体体积时,可以通过变形的方法来解决。 二、精讲精练 【例题 1】 一个零件形状大小如下图:算一算,它的体积是多少立方厘米?表面积是多少平方厘米?(单位:厘米) 【思路导航】(1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积,左边的长方体体积是 10×4×2=80(立方厘米),右边的长方体的体积是 10×(6-2)×2=80(立方厘米),整个零件的体积是80×2=160(立方厘米);(2)求这个零件的表面积,看起来比较复杂,其实,朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等;朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此,此零件的表面积就是(10×6+10×4+2×2)×2=232(平方厘米)。想一想:你还能用别的方法来计算它的体积吗? 练习 1:1.一个长 5厘米,宽 1厘米,高 3厘米的长方体,被切去一块后(如图),剩下部分的表面积和体积各是多少? 2.把一根长 2米的长方体木料锯成 1米长的两段,表面积增加了 2平方分米,求这根木料原来的体积。 3.有一个长 8厘米,宽 1厘米,高 3厘米的长方体木块,在它的左右两角各切掉一个正方体(如图),求切掉正方体后的表面积和体积各是多少? 【例题 2】 有一个长方体形状的零件,中间挖去一个正方体的孔(如图),你能算出它的体积和表面积吗?(单位:厘米) 【思路导航】(1)先求出长方体的体积,8×5×6=240(立方厘米),由于挖去了一个孔,所以体积减少了 2×2×2=8(立方厘米),这个零件的体积是 240-8=232(立方厘米); (2)长方体完整的表面积是(8×5+8×6+6×5)×2=236(平方厘米),但由于挖去了一个孔,它的表面积减少了一个(2×2)平方厘米的面,同时又增加了凹进去的 5个(2×2)平方厘米的面,因此,这个零件的表面积是 236+2×2×4=252(平方厘米)。 练习2:1.有一个形状如下图的零件,求它的体积和表面积。(单位:厘米)。 2.有一个棱长是4厘米的正方体,从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后,剩下物体的体积和表面积各是多少? 3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上(如图),那么得到...