编辑版 word §4.2 换元积分法Ⅰ授课题目§4.2 换元积分法（第一类换元法）Ⅱ教学目的与要求：1.理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dxxxd)()(.2.掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.Ⅲ教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分.Ⅳ讲授内容：一、第一类换元积分法设)(uf具有原函数)(uF，( )( )f u duF uC .若 u 是中间变量，( )ux ，( )x 可微，则根据复合函数求导法则，有( ( ))( )[ ( )]( )dFxdF duduf ufxxdxdu dxdx。所以根据不定积分的定义可得：( )[ ( )]( )[( )][ ][( )]uxfxx dxFxCF uCf u du以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有( )[ ( )]( )][( )]( )uxfxx dxf u duF uCFxC .以上就是第一换元积分法。从以上可以看出， 虽然[ ( )]( )fxx dx 是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的( )x dx 可以看成是( )x 的微分，通过换元( )ux ，应用到被积表达式中就得到( )x dxdu .定理 1 设)(uf具有原函数)(uF，)(xu可导，dxxdu)(，则[ ( )( )( )( )[ ( )]fxx dxf u duF uCFxC(1)如何应用公式 (1)，在求不定积分积分( )g x dx 时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[( )]( )fxx 的形式那么( )( )[( )]( )[( )]xug x dxfxx dxf u du( )( )[ ( )]uxF uCFxC .所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积编辑版 word [( )]( )fxx 来.例 1 求33xe dx解33333=3xxxe dxedxex dx()，可设中间变量xu3，dxxddu3)3(3dxdu ，所以有3333xxuuxe dxedxe dueCeC .首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。例 2xdx2cos解11cos2cos22=cos2(2 )22xdxxdxxx dx令xu2，显然dxdu2，则1cos2cos222xdxxdx111cossinsin 2222uduuCxC .在比较熟练后，我们可以将设中间变量( )ux 的过程省略，从而使运算更加简洁。例 3dxx5)23(解 如将5)23( x展开是很费力的，不如把23x作为中间变量，dxxd3)23(，5556111(32)=(32)3=(32)(32)(32)3318xdxxdxxdxxC .例 4 132dxx111111=2=(32 )ln | 32|322322322dxdxdxxCxxx.例 5 22xxe dx2222222()xx...
