第 18 课时 矩形、菱形、正方形考点一考点二考点三考点一 矩形的性质与判定 1.定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.性质 (1)矩形的四个角都是直角; (2)矩形的对角线相等; (3)矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴;它的对称中心是对角线的交点. 3.判定 (1)有三个角是直角的四边形是矩形; (2)对角线相等的平行四边形是矩形. 考点一考点二考点三考点二 菱形的性质与判定 1.定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.性质 (1)菱形的四条边都相等; (2)菱形的对角线互相垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角. 3.判定 (1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形; (2)四条边都相等的四边形是菱形. 考点一考点二考点三考点三 正方形的性质与判定 1.定义 一组邻边相等的矩形叫做正方形. 2.性质 (1)正方形的四条边都相等,四个角都是直角; (2)正方形的对角线相等,且互相垂直平分;每条对角线平分一组对角; (3)正方形是轴对称图形,两条对角线所在直线以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴;正方形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心. 3.判定 (1)一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形; (2)一组邻边相等的矩形是正方形; (3)对角线互相垂直的矩形是正方形; (4)有一个角是直角的菱形是正方形; (5)对角线相等的菱形是正方形. 一二 三一、矩形的性质与判定 【例 1】 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD,AE 分别是∠BAC 和∠BAC 外角的平分线,BE⊥AE. (1)求证:DA⊥AE; (2)试判断 AB 与 DE 是否相等?并证明你的结论. 分析:第(1)题利用邻补角的角平分线互相垂直易证;在第(2)题中,AB 与DE 是四边形 ADBE 的对角线,可考虑利用矩形的判定,证四边形 ADBE 是矩形即可. 一二 三(1)证明: AD,AE 分别平分∠BAC,∠BAF, ∴∠BAD=12∠BAC,∠BAE=12∠BAF. ∠BAC+∠BAF=180°, ∴∠BAD+∠BAE=12(∠BAC+∠BAF) =12×180°=90°, 即∠DAE=90°.∴DA⊥AE. (2)解:AB=DE. 理由: AB=AC,AD 平分∠BAC, ∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°. BE⊥AE,∴∠AEB=90°. ∠DAE=90°,∴四边形 ADBE 是矩形. ∴AB=DE. 一二 三 一二 三二、菱形的性质与判定 【例 2】 如图,AD∥EF,点 B,C 在 AD 上,∠1=∠2,BF=BC. (1)求证:四边形 BCEF 是菱形; (2)若 AB=BC=CD,求证:△ACF≌△BDE. 证明:(1) AD∥FE,∴∠FEB=∠2. ∠1=∠2,∴∠FEB=∠1. ∴BF=EF. BF=BC,∴BC=EF....
