多项式长除法精讲精练VIP免费

1 多项式长除法 是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。 例计算 写成以下这种形式： 然后商和余数可以这样计算： 1. 将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x ）。结果写在横线之上(x 3 ÷ x = x 2). 2. 将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下 (x 2 · (x − 3) = x 3 − 3x 2). 3. 从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），结果写在下面。((x 3 − 12x 2) − (x 3 − 3x 2) = − 12x 2 + 3x 2 = − 9x 2)然后，将分子的下一项“拿下来”。 4. 重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项 2 5. 重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。 横线之上的多项式即为商，而剩下的 (− 123) 就是余数。 算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有 x 被替换为 10 的情形。 除法变换 使用多项式长除法可以将一个多项式写成 除数-商 的形式（经常很有用）。 考虑多项式 P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。 然后，对某个商多项式 Q(x) 和余数多项式 R(x) （(R)的系数 < (D)的系数）， 这种变换叫做除法变换，是从算数等式 .[1] 得到的。 3 应用:多项式的因式分解 有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用 rational root theorem 得到的。如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。简单来说，Q(x) 就是长除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。 相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r 和 s 这两个，那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x)，再从 Q(x) 中除掉 x-s，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子 x2-(r+s)x+rs。 使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果 rational root theorem 可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。 寻找多项式的切线 多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切...