常微分方程数值解法VIP专享VIP免费

i.常微分方程初值问题数值解法 本章讨论常微分方程初值问题数值解法，主要是差分法。解微分方程的所谓差分法的要点如下：首先是区域的离散，即将连续的求解区域离散化成有限个网格点。其次是方程的离散，例如用差商代替微商，或者对微分方程积分使之变成积分方程，然后数值积分，或者……。最后得到网格点上的近似解所满足的一个差分方程，解之即得差分解。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数( )u t 满足 ( ,) , 0duf t utTdt （i.1a） 0(0)uu (i.1b) 其中( ,)f t u是定义在区域 G : 0tT, u   上的函数，0u和T 是给定的常数。我们假设( ,)f t u对 u 满足 Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212( ,)( ,), [ 0 ,] ; ,(,)ft uft uL uutTuu   （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法--差分方法。先来讨论最简单的 Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110NNttttT （i.3） 其中nthn，0h 称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0tt处，在（i.1a）中用向前差商10( )()u tu th代替微商 dudt，便得 10000()()(,() )ututh ftut  如果忽略误差项0 ，再换个记号，用iu 代替 ( )iu t便得到 1000(,)uuh ftu 一般地，我们有 1E u l e r (,) , 0 , 1 ,,1nnnnuuh ftunN方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u出发，由上式可以依次算出1,,Ntt上的差分解1,,Nuu。 下面我们用数值积分法重新导出 Euler 法以及其它几种方法。为此，在区间1[,]nntt上积分常微分方程（i.1a），得 11()()( ,( ) )nntnntu tu tf t u tdt  （i.5） 用各种数值积分公式计算（i.5）中的积分，便导致各种不同的差分法。例如，若用左矩形公式就得到 Euler 法（i.4）。如果用右矩形公式，便得到下面的： 111Eu ler(,), 0,1,,1nnnnuuh f tunN隐 式方法： （i.6） 类似地，如果用梯形公式，就得到 11111E u l e r[(,)(,) ] , 0 , 1 ,,12nnnnnnhuuftuftunN...