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常微分方程数值解法VIP免费

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i.常微分方程初值问题数值解法 本章讨论常微分方程初值问题数值解法,主要是差分法。解微分方程的所谓差分法的要点如下:首先是区域的离散,即将连续的求解区域离散化成有限个网格点。其次是方程的离散,例如用差商代替微商,或者对微分方程积分使之变成积分方程,然后数值积分,或者……。最后得到网格点上的近似解所满足的一个差分方程,解之即得差分解。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题:求函数( )u t 满足 ( ,) , 0duf t utTdt (i.1a) 0(0)uu (i.1b) 其中( ,)f t u是定义在区域 G : 0tT, u   上的函数,0u和T 是给定的常数。我们假设( ,)f t u对 u 满足 Lipschitz 条件,即存在常数L 使得 121212( ,)( ,), [ 0 ,] ; ,(,)ft uft uL uutTuu   (i.2) 这一条件保证了(i.1)的解是适定的,即存在,唯一,而且连续依赖于初值0u。 通常情况下,(i.1)的精确解不可能用简单的解析表达式给出,只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法--差分方法。先来讨论最简单的 Euler 法。为此,首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点: 0110NNttttT (i.3) 其中nthn,0h 称为步长。 在微积分课程中我们熟知,微商(即导数)是差商的极限。反过来,差商就是微商的近似。在0tt处,在(i.1a)中用向前差商10( )()u tu th代替微商 dudt,便得 10000()()(,() )ututh ftut  如果忽略误差项0 ,再换个记号,用iu 代替 ( )iu t便得到 1000(,)uuh ftu 一般地,我们有 1E u l e r (,) , 0 , 1 ,,1nnnnuuh ftunN方法: (i.4) 从(i.1b) 给出的初始值0u出发,由上式可以依次算出1,,Ntt上的差分解1,,Nuu。 下面我们用数值积分法重新导出 Euler 法以及其它几种方法。为此,在区间1[,]nntt上积分常微分方程(i.1a),得 11()()( ,( ) )nntnntu tu tf t u tdt  (i.5) 用各种数值积分公式计算(i.5)中的积分,便导致各种不同的差分法。例如,若用左矩形公式就得到 Euler 法(i.4)。如果用右矩形公式,便得到下面的: 111Eu ler(,), 0,1,,1nnnnuuh f tunN隐 式方法: (i.6) 类似地,如果用梯形公式,就得到 11111E u l e r[(,)(,) ] , 0 , 1 ,,12nnnnnnhuuftuftunN...

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