1 数列通项公式的常用求法构造法 求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)( )f nf n =A（其中 A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(nf是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(nf的通项公式，再根据)(nf与na ，从而求出na 的通项公式。例 1 在数列 {}na中，1a = 12，133nnnaaa（ nN ），求数列 {}na通项公式 . 解析 ：由313nnanaa得， an+1 an=3 an+1-3 an=0，两边同除以an+1 an 得，nnaa11131 ，设 bn=na1 ，则 bn+1- bn= 31 ，根据等差数列的定义知，数列｛ bn｝是首项 b1=2，公差 d= 31 的等差数列，根据等差数列的通项公式得bn=2＋ 31 （n-1）= 31 n＋ 35∴数列通项公式为an=53n例 2 在数列｛ an｝中， Sn 是其前 n 项和，且 Sn≠0，a1=1，an=1222nnSS(n≥2)，求 Sn 与 an。解析：当 n≥2 时， an=Sn-Sn-1代入 an=1222nnSS得，Sn-Sn-1=1222nnSS，变形整理得 Sn-Sn-1= SnSn-1？两边除以 SnSn-1得，nS1 -11nS=2，∴｛nS1 ｝是首相为 1，公差为 2 的等差数列∴nS1 =1+2（n-1）=2n-1, ∴ Sn=121n(n≥2),n=1 也适合，∴ Sn=121n(n≥1) 当 n≥2 时， an=Sn-Sn-1=121n-321n=-38422nn，n=1 不满足此式，∴an={21138422nnnn二、构造等比数列求数列通项公式2 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为 f（n+1）=Af（n）（其中 A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(nf是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(nf的通项公式，再根据)(nf与na ，从而求出na 的通项公式。例 3 在数列｛ an｝中， a1=2，an=an-12(n≥2)，求数列｛ an｝通项公式。解析： a1=2，an=an-12(n≥2)＞0，两边同时取对数得， lg an=2lg an-1 ∴1lglgnnaa=2，根据等比数列的定义知，数列｛lg an｝是首相为 lg2，公比为2 的等比数列，根据等比数列的通项公式得lg an=2n-1lg2=122lgn∴数列通项公式为 an=122n评析：本例通过两边取对数，变形成1log2lognnaa形式，构造等比数列}logna，先求出nalog的通项公式，从而求出na 的通项公式。例 4 在数列｛ an｝中， a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列｛ an｝通项公式。解析：设 an+1+A（ n+1）+B=4（an+An+B ），（A、 B 为待定系数），展开得an+1=4an+3An+3B-A ，与已知比较系数得 ...
