1 / 5 《 数学分析续论》模拟试题 （一）一、 单项选择题（56）（１） 设na为单调数列，若存在一收敛子列jna，这时有．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．jnjnnaalimlim；Ｂ．na不一定收敛；Ｃ．na不一定有界；Ｄ．当且仅当预先假设了na为有界数列时，才有Ａ成立．（２） 设)(xf在上为一连续函数，则有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．当 I 为开区间时)( If必为开区间；Ｂ．当)( If为闭区间时I 必为闭区间；Ｃ．当)( If为开区间时I 必为开区间；Ｄ．以上 Ａ、Ｂ、Ｃ 都不一定成立．（３） 设)(xf在某去心邻域)(0xU内可导．这时有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．若Axfxx)(lim0存在，则Axf)(0；Ｂ．若 f在0x连续，则成立；Ｃ．若Axf)(0存在，则Axfxx)(lim0；Ｄ．以上 Ａ 、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（４） 设)(xf在],[ba上可积， 则有 ．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．)(xf在],[ba上必定连续；Ｂ．)(xf在],[ba上至多只有有限个间断点；Ｃ．)( xf的间断点不能处处稠密；Ｄ．)(xf在],[ba上的连续点必定处处稠密．（５） 设1nnu为一正项级数．这时有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．若0limnnu, 则1nnu收敛；Ｂ ．若1nnu收敛，则1lim1nnnuu；．若1nnu收敛，则1limnnnu；Ｄ．以上 Ａ 、Ｂ、Ｃ都不一定成立．2 / 5 二、计算题（401）（１） 试求下列极限：①nnnn3)12(31lim；②xtxtxtt022022limdede．（２） 设xyufuyxuyxarctane)(,21,220．试求)()(0ufuf与．（３） 试求由曲线12xy，直线2x，以及二坐标轴所围曲边梯形的面积S ．（４） 用条件极值方法 （乘数法） 导出从固定点),(00yx到直线0CyBxA的距离计算公式．三、证明题（301）（１） 设)()(xgxf与在],[ba上都连续．试证：若)()(,)()(bgbfagaf，则必存在),(0bax，满足)()(00xgxf．（２） 证明xxxfln)(在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：cbacbacbacba3, 其中cba,,均为正数． ( 提示：利用詹森不等式．) （３）证明：0412)1(nnn．3 / 5 解答一、［答］（１） Ａ；（２） Ｃ ；（３） Ｂ；（４） Ｄ；（５） Ｄ．二、［解］（１）①333lim3)12(31limnnnnnnn；②.022limd2limd2limdedelim2222222220200220xxxxx txxxtxxxtxtxxtttteeeeeee（２）515242)(,e2e2)(55022222222eeufyxx...
