椭圆焦半径公式的证明及巧用08 月 31 日 星期日 21:56命题:证明:阐明:巧用焦半径公式能妙解许多问题,下面举例阐明。一、用于求离心率例分析:因此,因此。二、用于求椭圆离心率 的取值范畴例分析:由得故,即,又。因此。三、用于求焦半径的取值范畴例分析:因此。四、用于求两焦半径之积例分析:由知,因此的最小值为,最大值为。五、用于求三角形的面积例分析:。由余弦定理得。解得因此六、用于求点的坐标例分析:及得,解得因此。七、用于证明定值问题例分析:化简得所觉得定值。八、用于求角的大小例分析:因此因此。九、用于求线段的比。例分析:由两式相减并化简得。因此。因此。令,则,故因此,因此。如图 设的坐标为,椭圆与双曲线的离心率分别为,则,,消去得,。不妨设,由成等差数列得,即。 易知易知 的最值不妨设为椭圆的左焦点,而,则。故。 设的坐标为,则 如图,连,则,由焦半径公式得,即。 若椭圆的焦点在轴上,则有。我们把椭圆上的点到两焦点的距离称为焦半径,而(或)、(或)称为焦半径公式。如图 1,椭圆的准线方程为和。由椭圆的第二定义得,化简即得 1 如图为椭圆的两个焦点,以线段为直径的圆交椭圆于四点,顺次连结这四点和两个焦点,正好围成一种正六边形,则离心率。2已知为椭圆的焦点,若椭圆上恒存在点,使,求离心率 的取值范畴。3 若是椭圆上的点,为椭圆的焦点,求的取值范畴。4 若为椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,求的最值。5 若是椭圆上一点,为椭圆的左、右焦点,且,求的面积 S。 。6 若为椭圆上的点,为椭圆的焦点,且,则的横坐标为_________。 由, ,7 已知为椭圆上两点,为椭圆的顶点,F 为焦点,若成等差数列,求证:为定值。 ,8 如图3,设椭圆与双曲线有公共焦点,为其交点,求。9 过椭圆的左焦点作与长轴不垂直的弦的垂直平分线交轴于,则。4,设的坐标分别为,AB 的中点为,则。AB 的垂直平行线方程为 N 的坐标为若椭圆的焦点为