浅析线性方程组的平方根解法 在求解线性方程组时,直接解法有顺序高斯消元法、列主元高斯消元法、全主元高斯消元法、高斯约当消元法、消元形式的追赶法、LU 分解法、矩阵形式的追赶法，当我们遇到对称正定线性方程组时，我们就要用到平方根法(对称 LLT 分解法)来求解，为了熟悉和熟练运用平方根法求解线性方程组，下面对运用平方根法求解线性方程组进行解析。 一、运用平方根法求解线性方程组涉及到的定理及定义 我们在运用平方根法求解线性方程组时，要判定线性方程组Ax=b 的系数矩阵 A 是否是对称正定矩阵，那么我们就要了解正定矩阵的性质和如下定理及定义： 1、由线性代数知，正定矩阵具有如下性质： 1) 正定矩阵 A 是非奇异的 2) 正定矩阵 A 的任一主子矩阵也必为正定矩阵 3) 正定矩阵 A 的主对角元素均为正数 4) 正定矩阵 A 的特征值均大于零 5) 正定矩阵 A 的行列式必为正数 定义一 线性方程组Ax=b 的系数矩阵 A 是对称正定矩阵，那么 Ax=b 是对称正定线性方程组。 定义二 如果方阵 A 满足 A=AT，那么 A 是对称阵。 2.1.4 平方根法和改进的平方根法 如果 A 是 n 阶对称矩阵，由定理 2 还可得如下分解定理： 定理 2 若 A 为 n 阶对称矩阵，且 A 的各阶顺序主子式都不为零，则 A 可惟一分解为：A＝LDLT，其中 L 为单位下三角阵，D 为对角阵。 证明 因为 A 的各阶顺序主子式都不为零，所以 A 可惟一分解为：A＝LU 因为 ，所以可将 U 分解为： nnuuuU221111122211112uuuuuunnnn1DU 其中 D 为对角矩阵， U1 为单位上三角阵．于是：A＝LDU1＝L(DU1) 因为 A 为对称矩阵，所以，A＝AT＝U1TDTLT＝U1T(DLT)，由 A 的 LU 分解的惟一性即得：L＝U1T，即 U1＝LT，故A＝LDLT。 工程技术中的许多实际问题所归结出的线性方程组，其系数矩阵常有对称正定性，对于具有此类特殊性质的系数矩阵，利用矩阵的三角分解法求解是一种较好的有效方法，这就是对称正定矩阵方程组的平方根法及改进的平方根法，这种方法目前在计算机上已被广泛应 用。 定理 3 对称矩阵 A 为正定的充 分必要条 件 是A 的各阶顺序主子式大于零。 2 对称正定矩阵的三角分解 定理 (Cholesky 分解)设 A 为 n 阶对称正定矩阵，则存 在惟一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得：A＝LLT。...
