1 A B 最短路径问题专项练习共 13 页，全面复习与联系最短路径问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短
（构建“对称模型”实现转化）1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C，使 CA＋CB 最短，这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C，使 CA＋CB 最短，这时先作点B 关于直线l 的对称点 B′ ，则点 C 是直线 l 与 AB′ 的交点．为了证明点C 的位置即为所求， 我们不妨在直线上另外任取一点C′ ，连接 AC′ ，BC′ ，B′C′ ，证明 AC＋CB＜AC′ ＋ C′B
如下：证明：由作图可知，点B 和 B′ 关于直线l 对称，所以直线 l 是线段 BB′ 的垂直平分线．因为点 C 与 C′ 在直线 l 上，所以 BC＝B′C，BC′ ＝ B′C′
在△ AB′C′ 中， AB′ ＜ AC′ ＋ B′C′ ，所以 AC＋B′C＜AC′ ＋ B′C′ ，所以 AC＋BC＜AC′ ＋ C′B
【例 1】 在图中直线l 上找到一点M，使它到 A，B 两点的距离和最小．分析： 先确定其中一个点关于直线l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点 M 即 为所求的点．解： 如图所示： (1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；(2)连接 AB′交直线 l 于点 M
(3)则点 M 即为所求的点．2 点拨：
