约束和广义坐标解析VIP免费

§§1-1约束和广义坐标第一章拉格朗日第一章拉格朗日((LagrangeLagrange))方程方程一、牛顿力学的局限性和分析力学的建立：回顾几个概念(1)物体受力主动力:约束力:促使物体运动或有运动趋势的力,如:重力、风力等限制物体运动或有运动趋势的力,如:示例示例(1)(1)WWFFRRBBFFRRAA示例示例(2)(2)(2)牛顿运动方程22drmFdt合力约束力不能事先就给出确切的表达式，而是取决于约束本身的性质、主动力和物体的运动状态。FR主动力约束力难点牛顿力学局限一：必须知道作用在物体上的所有的力——合力22drmFdt合力对于非自由质点，即约束运动，运动方程为：22drmFRdt主动力约束力其显式的得到一般很困难！实际工程技术中迫切需要解决的问题约束越多,列出的方程越多!方程越不好解！用约束方程表示约束情况!约束方程联立求解牛顿力学局限二：力学现象非力学现象（如电磁学等）内在联系牛顿方程麦克斯韦方程组表述方法不同不易找到内在联系综上，很自然地促使人们探究力学的其他表述形式——分析力学分析力学优势一：约束越多自由度越少独立坐标越少广义坐标越少满足的动力学方程越少拉格朗日方程方程越好解问题越好解决（引入广义坐标）分析力学优势二：加速度、力等矢量分析力学电动力学量子力学统计物理相对论动能、势能等能量牛顿主义力学特色牛顿力学以牛顿定律为基础，借助矢量和几何图形研究力学问题优点：直观性强。缺点：处理质点组问题，特别是受约束问题特别复杂特点:注重力和加速度运动微分方程求解质点（质点组）的运动规律Fa分析力学用严格的数学分析方法研究力学问题特点：注重具有广泛意义的“能量”，扩大坐标概念，引入“广义坐标”便于研究受约束质点组的力学问题优点：：（1）巧妙的消去“理想约束”，减少了方程组中未知量的个数；（2）观点高，理论完整，涉及范围广，内容丰富形成许多专门分支（3）“能量”，“广义坐标”用于场的研究量子力学，相对论，统计物理牛顿力学分析力学代表人物牛顿拉格朗日、哈密顿运动方程牛顿方程拉格朗日方程哈密顿方程计算方法矢量计算数学分析描述系统运动状态的量坐标、动量广义坐标、广义动量研究约束运动时给出约束力及约束方程无需给出约束力及约束方程基本物理量加速度、力能量或功与非力学系统的联系不易看出易于推广分析力学到底是什么样子地?从一个个新的概念入手,慢慢接近了解它!那么,二、约束及分类对于质点组,或称为力学体系:独立坐标数目=3n独立坐标数目<3nn个自由质点若受到约束约束：对力学体系中质点的位置和速度所施加的限制条件约束方程：对限制条件的数学表达式根据限制条件的性质将约束进行分类:1、完整约束和非完整约束（1）完整（几何）约束－仅限制体系在空间的几何位置的约束约束方程：,,0,,,0fxyzfxyzt或Example:单摆22200xylz几何约束位置约束完整约束完整系l常见的完整约束：质点被约束在某一曲线或曲面上运动，则约束方程就是该曲线或曲面的方程。xy与速度无关（2）非完整（运动）约束－对体系的位置和速度都进行限制的约束约束方程：,,;,,0,,;,,,0fxyzxyzfxyzxyzt或Example:圆盘在竖直平面内沿水平直线的纯滚动cxR运动约束速度约束微分约束经积分可以消去坐标导数几何约束（完整约束）不能经积分消去坐标导数非完整约束运动约束2、定常约束和不定常约束（1）定常（稳定）约束：约束方程中不显含时间,,;,,0fxyzxyz,,0fxyz（2）不定常（不稳定）约束：约束方程中显含时间,,;,,;0fxyzxyzt,,,0fxyztExample:单摆为定常约束22200xylz若悬点以匀速v沿x轴运动为不定常约束22200xvtylz3、双侧约束和单侧约束(1)双侧(不可解)约束：体系始终不可脱离的约束（等式）(2)单侧(可解)约束：体系可在某个方向脱离的约束(不等式)Example:单摆中用柔绳代替刚性杆:22200xylzExample:单摆22200xylz今后仅讨论完整、不可解约束力学体...