正多面体与球一、正方体与球如图：正方体1111ABCDA B C D 中，设其棱长为 a问题 1：正方体1111ABCDA BC D 的 面对角线（如： AC 、 BD 、1AB 等）共有 _____条，它们的长度均为__________（用正方体的棱长a表示）；正方体1111ABCDA BC D 的 体对角线（如：1AC 、1BD 等）共有 _____条，长度均为 __________（用正方体的棱长 a 表示）．问题2： 过正方体1111ABCDA B C D 的三个顶点A 、1B 、1D 作该正方体的截面11AB D ，再过顶点1C 、 B 、 D 也作该正方体的截面1C BD ，你感受到这两个截面有什么位置关系？这两个截面将正方体1111ABCDA B C D的体对角线1AC 分成三条线段，你知道这三条线段的长度有什么关系吗？你可以利用等体积法证明你的结论．结论： _______________________________________________________ ．问题 3：在初中的学习过程中,我们知道内切圆与外接圆．类比正方形的内切圆与外接圆，设想一下正方体有内切球和外接球吗？⑴正方形的内切圆与正方形的__________相切；由此可以类比：正方体的内切球的球面与正方体的__________相切．⑵正方形的__________都在它的外接圆上；由此可以类比：正方体的__________都在它的外接球的球面上．⑶正方形的边长为a ，则它的内切圆的半径为__________；由此可以类比：正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为_________．⑷正方形的边长为a ，则它的外接圆的半径为__________；由此可以类比：正方体的棱长为a，则它的外接球的半径为_________．注意：类比得到的结论不一定正确．这里，你得到的结论是正确的吗？再仔细考虑一下，看看能不能证明你的结论．问题 4：在正方体1111ABCDA B C D 中还有一种球， 它的球面和正方体的12 条棱都相切， 这个球称作正方体的棱切球 ．它的半径应该比该正方体的内切球的半径 _____，比该正方体的外接球的半径_____（填“大”或“小”）．想象一下，这个球与正方体的中截面 （ 正方体的中截面：过正方体的中心与正方体的底面平行的平面）有什么关系？利用这一点，你可以求出这个正方体的棱切球的半径为_____（用正方体的棱长a 表示）．二、正四面体与球如图： 正四面体 ABCD 中,设其棱长为 b ．问题5：顶点 A 在底面 BCD 内的正投影应该为底面BCD 的_____心．问题 6：在BCD 中， M 为 CD 的中点，则线段BM 的长度为 _____（用正四面体的棱长b 表示）．问题 7：在BCD 中，它...
