《数学分析》第十四章幂级数VIP免费

120 第十四章 幂级数 （ 1 0 时 ） § 1 幂级数（ 4 时 ） 幂级数的一般概念.型如00)(nnnxxa 和 0nnnxa的幂级数.幂级数由系数数列}{na唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如0nnnxa的幂级数. 幂级数是最简单的函数项级数之一. 一. 幂级数的收敛域: Th 1（Abel 定理）若幂级数nnxa在点 0 xx收敛, 则对满足不等式|| ||xx 的任何x ,幂级数nnxa收敛而且绝对收敛；若在点xx 发散,则对满足不等式|| ||xx 的任何x ，幂级数nnxa发散. 证 nn xa收敛, {nn xa} 有界.设|nn xa|  M , 有|nnnnnnMrxxxaxa|||||,其中 1 ||xxr.nMr  ||nnxa. 定理的第二部分系第一部分的逆否命题. 幂级数nnxa和 nnxxa)(0的收敛域的结构. 定义幂级数的收敛半径R. 收敛半径 R 的求法. Th 2 对于幂级数nnxa, 若nlimnna ||, 则 ⅰ>  0时, R1; ⅱ>  0 时R; ⅲ> 时0R. 证 nlimnnnxa||nlim||||||xxann, (强调开方次数与x 的次数是一致的).  …… 121 由于nlim ||||1nnaanlimnna ||, 因此亦可用比值法求收敛半径. 幂级数nnxa的收敛区间: ) , (RR . 幂级数nnxa的收敛域: 一般来说, 收敛区间 收敛域. 幂级数nnxa的收敛域是区间) , (RR、] , (RR、) , [RR或] , [RR之一. 例1 求幂级数2nxn的收敛域 . ( ] 1 , 1 [  ) 例2 求幂级数nxxxn22的收敛域 . ( ) 1 , 1 [  ) 例3 求下列幂级数的收敛域: ⑴ 0!nnnx; ⑵ 0!nnxn. 例4 求级数02)1(nnnnx的收敛域 . Ex [1]P50—51 1. 二． 幂级数的一致收敛性： Th 3 若幂级数nnxa的收敛半径为 R ，则该幂级数在区间) , (RR内闭一致收敛. 证 ] , [ba) , (RR, 设} || , || max{bax , 则对x] , [ba, 有 || ||nnnnxaxa, 级数nn xa绝对收敛, 由优级数判别法 幂级数nnxa在] , [ba上一致收敛.因此,幂级数nnxa在区间) , (RR内闭一致收敛. Th 4 设幂级数nnxa的收敛半径为 R) 0 ( ,且在点Rx ( 或Rx )收敛,则幂级数nnxa在区间] , 0 [R ( 或 ] 0 , [R )上一致收敛 . 122 证 nnnnnRxRaxa...