人教A 版选择性必修第一册知识点总结 第 1 页 共 20 页 1.1.1 空间向量及其线性运算 1.空间向量 (1)定义 在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)长度 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. (3)表示方法 几何 表示法 空间向量用有向线段表示 字母 表示法 用一个字母表示,如图,此向量的起点是A,终点是B,可记作a,也可以记作,其模记为|a|或|| (4)几类特殊的空间向量 ①零向量:规定长度为0 的向量叫做零向量,记为0. ②单位向量:模为1 的向量称为单位向量. ③相反向量:与向量a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量,记为-a. ④相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. ⑤共线向量或平行向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 2.空间向量的线性运算 (1)定义 类似平面向量,定义空间向量的加、减法运算(如图): =+=a+b; =-=a-b. (2)加法运算律 ①交换律:a+b=b+a; ②结合律:a+(b+c)=(a+b)+c. 1.1.2 空间向量的数量积运算 1.空间向量的夹角 定义:已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作=a,=b,则∠AOB 叫做向量a,b 的夹角. 记法:
. 范围:[0,π]. 人教A 版选择性必修第一册知识点总结 第 2 页 共 20 页 如果=,那么向量a,b 互相垂直,记作a⊥b. 2.空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos 叫做a,b 的数量积,记作a·b 运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b=λ(a·b) 交换律 a·b=b·a 分配律 ( + )· = · + · 两个向量数量积的性质 : (1)若 a,b 是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0; (2)若 a 与 b 同向,则a·b=|a||b|; 若反向,则a·b=-|a||b|; 特别地:a·a=|a| 2或|a|=; (3)若θ为 a,b 的夹角,则cos θ=; (4)|a ·b|≤|a||b|. 1.2 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 (1)定理 条件 如果三个向量a,b,c 不共面,那么对任意一个空间向量p 结论 存在唯一的有序实数组{x,y,z},使得 p=xa+yb+zc (2)基底与基向量 如果三个向量a,b,c 不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},这个集合可看作是由向量a,b,c 生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c 都叫做基向量. 2.空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且...
