洛比塔法则与高中数学老师版

专题：利用洛必达法则巧解高中数学一．定理内容洛必达法则： 设函数( )f x 、( )g x 满足：（1） lim( )lim( )0xaxaf xg x（或）；（2）在( )Ua 内，( )fx和( )g x 都存在，且( )0g x；（3）( )lim( )xafxAgx（ A 可为实数，也可以是）. 则( )( )limlim( )( )xaxaf xfxAg xgx. 【热身练习】 (1) 求lnlimxxx(2) 求311lim1xxx（3）求211lim34xxxx解：（1）lnln1limlimlim0xxxxxxxx（2）23331111211(1)23limlimlim311(1)2xxxxxxxxx（3）211111limlim34235xxxxxx二．定理应用例 1、(06 年全国卷 II 理第 20 题 )设函数( )(1)ln(1)f xxx。若对所有的0x，都有( )f xax 成立，求实数a 的取值范围。解：当0x时，显然成立，则aR当0x时，不等式( )f xax 成立即为( )(1)ln(1)f xxxaxx。令(1)ln(1)( )xxg xx，对( )g x 求导得2ln(1)( )xxg xx令( )ln(1)h xxx， 则1()10(0 )11xh xxxx，( )h x在0,上 为 增 函 数( )(0)h xh=0 ， 所 以2l n (1 )( )xxg xx>0 ， 所 以( )g x在0,上 是 增 函 数 。000()(1 ) l n (1 )l n (1 )1l i ml i ml i m11xxxfxxxxxx，所以1a。综合上述所知：1a例 3、(06 年重庆卷理第20 题) 已知函数2( )()xf xxbxc e ，其中,b cR 为常数。(I)若24(1)bc，讨论函数( )f x 的单调性；(II)(II) 若24(1)bc，且0( )lim4,xf xcx试证：62b（2011 新） 例： 已知函数ln( )1axbf xxx，曲线( )yf x 在点 (1, (1))f处的切线方程为230xy. （Ⅰ）求 a 、 b的值；（ Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln( )1xkf xxx， 求 k 的取值范围 . （Ⅰ）略解得1a，1b. （Ⅱ） 方法一：分类讨论、假设反证法由（Ⅰ）知ln1( )1xf xxx，所以22ln1(1)(1)( )()(2ln)11xkkxf xxxxxx. 考虑函数( )2lnh xx2(1)(1)kxx(0)x，则22(1)(1)2'( )kxxh xx. (i) 当0k时，由222(1)(1)'( )k xxh xx知，当1x时，'( )0h x. 因为(1)0h，所以当(0,1)x时，( )0h x，可得21( )01h xx；当(1,)x时，( )0h x，可得21( )01h xx，从而当0x且1x时，ln( )()01xkf xxx，即ln( )1xkf xxx；（ii ）当 01k时，由于当1(1,)1xk时，2(1)(1)20kxx，故'( )0h x，而(1)0h，故当1(1,)1xk时，( )0h x，可得21( )01h xx，与题设矛盾 . （iii）当1k时，'( )0h x，而(1)0h，故当(1,)x时，( )0h x，可得21( )01h xx，与题设...