什么叫差分方程

什么叫差分方程？给我举几个例子呗 § 1 基本理论 1. 差分 2. 任意数列{xn },定义差分算子Δ 如下： Δxn=xn+1-xn 对新数列再应用差分算子，有 Δ2xn=Δ(Δkxn). 性质 性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn 性质2 Δk(cxn)=cΔkxn 性质3 Δkxn=∑(-1)jCjkXn+k-j 性质4 数列的通项为n 的无限次可导函数，对任意k>=1,存在η，有 Δkxn=f(k)(η) 差分方程 定义8。1 方程关于数列的k 阶差分方程： xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k+1,……) 其中a1,a2,------ak 为常数， ak≠0. 若b=0,则该 方程是齐次方程 关于λ 的代数方程 λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0 为对应的特征方程，根为特征值。 1． 实验内容与练习 2．1 插分 例1 Xn={n3},求各阶差分数列： xn △xn △2xn △3xn △4xn 1 7 12 6 0 8 19 18 6 0 27 37 24 6 0 64 61 30 6 125 91 36 216 127 343 可见，{n3},三阶差分数列为常数数列，四阶为0。 练习1 对{1}，{n},{n2},{n4},{n5}, 分别求各阶差分数列。 练习2 {C0n-1}{C1n-1}{C2n-1},{C4n-1},分别求各阶差分数列. {Xn}的通项为n 的三次函数， Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0 证明它为常数数列。 证明 由Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0 可直接计算 。 定理8。1 若数列的通项是关于n 的k 次多项式，则 k 阶差分数列为非零数列，k+1 阶差分数列为0。 练习3 证明定理8。1 。 定理8。2 若{Xn}的 k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是 n 的 k 次多项式， 练习4 根据插分的性质证明定理8。2 例2。求∑ i3 例3 例4 解 设Sn=∑ i3 表 Sn △Sn △2Sn △3Sn △4Sn △5Sn 1 8 19 18 6 0 9 27 37 24 6 0 36 64 61 30 6 0 100 125 91 36 6 0 225 216 127 42 441 343 169 784 512 1296 设Sn=a4n4+a3n3+a2n2+a1n+a0, s1=1,s2=9,s3=36,s4=100,s5=225,得 a0=0, a1=0, a2=1/4, a3=1/2, a4=1/4. 所以， Sn=(1/4)n4+(1/2)n3+(1/4)n2. 练习 {Xn}的通项Xn 为n 的k 次多项式，证明∑ xi 为n 的 k+1 次多项式；求 ∑ i4. 由练习 2 {Crn-1}可得。 2.2 差分方程 对于一个差分方程，如果能找出这样的数列通项，将它带入差分方程后，该方程成为恒等式，这个通项叫做差分方程的解。 例3 对差分方程 xn-5xn-1+6xn-2=0,可直接验证xn=c13n+c22n 是该方程的解。 例3 中的解中含有任意常数，且任意常数的个数...