定角夹定高(学生版)

定角夹定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线 BC 外一点 A,A 到直线 BC 距离为定值（定高），ZBAC 为定角。则 AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。我们可以先看一下下面这张动图，在三角形 ABC 当中，ZBAC 是一个定角,过 A 点作 BC 边的高线，交 BC 边与 D 点，高 AD 为定值。从动态图中（定角定高动态图・gsp）疋角疋咼动态图.gsp我们可以看到，如果顶角和高，都为定值，那么三角形 ABC 的外接圆的大小，也就是半径，是会随着 A 点的运动而发生变化的。从而弦 BC 的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高 AD 是定值，因此三角形 ABC 的面积就有一个最小值。我们可以先猜想一下，AD 过圆心的时候，这个外接圆是最小的，也就是，BC 的长是最小的，从而三角形 ABC 的面积也是最小的。（定长可用圆处理，特别，定长作为高可用两条平行线处理）那么该如何证明呢？首先我们连接 OA，OB，OC，过 O 点作 OH 丄 BC 于 H 点.（如图 1）显然 OA+OH>AD，当且仅当 A,O,D 三点共线时取“=”由于 ZBAC 的大小是一个定值，而且它是圆 o 的圆周角，因此它所对的圆心角 ZAOB 的度数，也是一个定值。因此 OH 和圆 O 的半径，有一个固定关系，所以，OA+OH 也和 O 的半径,有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，OA+OH>AD，就可以求得圆 O 半径的最小值。[简证：OA+OH>ADOEDH 为矩形，OH=ED，在 Rt^AOE 中,AO>AE，:.AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD]【总结】：1.定角定高三角形面积最小值时，该三角形为等腰三角形，其定高是所对底边的垂直平分线，或者说定高过该三角形外接圆圆心。2.定角可以看做是圆周角，因此它所对圆心角不变，往往要通过圆心角所在等腰三角形中解直角三角形。3.定角定高作用，求这类三角形高所对底的最小值，以及这类三角形最小面积例 1（旋转全等构造）：（2017•曲江区模拟&巧学数学）如图，在四边形 ABCD中,AB=AD=CD=4,AD^BC,ZB=60°，点 E、F 分别为边 BC、CD 上的两个动点，且 ZEAF=60°，则 AAEF 的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由。A图例 2：(巧学数学)已知等边 AABC,点 P 是其内部一个动点，且 AP=10,M、N 分别是 AB、AC 边上的两个动点，求 APMN 周长最小时，四边形 AMPN 面积的最大值.【解题步骤】：1•作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为 r，用 r 表示圆心到底边距...