初二数学经典难题及答案

A P C D B P C G F B Q A D E 初二数学经典题型 1．已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC 是正三角形． 证明如下。 首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。 在正方形ABCD 之外以 AD 为底边作正三角形ADQ， 连接 PQ， 则 ∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又 AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA 中， ∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB， 显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°， PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC 是正三角形。 2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD＝BC，M、N 分别是AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F．求证：∠DEN＝∠F． 证明:连接 AC,并取 AC 的中点G,连接 GF,GM. 又点N 为 CD 的中点,则 GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;(2) 又 AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN. 3、如图，分别以△ABC 的 AC 和 BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半． 证明：分别过 E、C、F 作直线 AB 的垂线，垂足分别为 M、O、N， 在梯形MEFN 中，WE 平行 NF 因为 P 为 EF 中点，PQ 平行于两底 所以 PQ 为梯形MEFN 中位线， 所以 PQ＝（ME＋NF）/2 又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B＝角Rt＝角BNF CB=BF 所以△OCB 全等于△NBF △MEA 全等于△OAC（同理） 所以 EM＝AO，0B＝NF 所以 PQ =AB/2. 4、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB． 过点P 作 DA 的平行线，过点A 作 DP 的平行线，两者相交于点E；连接 BE A N F E C D M B 因为DP//AE，AD//PE 所以，四边形AEPD 为平行四边形 所以，∠PDA=∠AEP 已知，∠PDA=∠PBA 所以，∠PBA=∠AEP 所以，A、E、B、P 四点共圆 所以，∠PAB=∠PEB 因为四边形AEPD 为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD 而，四边形ABCD 为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC 所以，PE//BC，且PE=BC 即，四边形EBCP 也是平行四边形 所以，∠PEB=∠PCB 所以，∠PAB=∠PCB 5.P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a ...