全微分的定义VIP免费

ΔxΔyxy如图，一边长分别为x、y的长方形金属薄片，受热后在长和宽两个方向上都发生变化，分别为Δx、Δy，那么该金属薄片的面积A改变了多少？xy)yy)(xx(AyxyxxyΔA称为面积函数A=xy的全增量，由两部分组成：yxxyΔx，Δy的线性部分yx当(Δx,Δy)→(0,0)时，是一个比22)y()x(高阶无穷小。定义设函数在点(x，y)的某个邻域内有定义，点（x+Δx，y+Δy）在该邻域内，如果函数在点（x，y）的全增量)y,x(fz)y,x(fz)y,x(f)yy,xx(fz可以表示为)(yBxAz其中A，B与Δx,Δy无关，)(是当22)y()x(→0时比ρ高阶的无穷小。则称函数在点)y,x(fz（x，y）处可微，yBxA称函数在点(x,y)处的全微分，记作dz或df(x,y)，即yBxAdz显然，dz≈Δz一、全微分二可微的必要和充分条件定理（可微的必要条件）如果函数在点（x，y）处可微，则它在该点处必连续，且它的两个偏导数都存在，并且)y,x(fzyyzxxzdz证明：)y,x(fz由函数在点（x，y）处可微有)(yBxAz所以0)]y,x(f)yy,xx(f[limzlim0y0x0y0x即)y,x(f)yy,xx(flim0y0x因此，函数在点（x，y）连续。)y,x(fz又因为中的A，B与)(yBxAzΔx，Δy无关，也就是该式对任意的Δx，Δy都成立。不妨取Δy=0，则有|)x(|xAz上式两边同除以Δx，再令Δx→0，则有Ax|)x(|limAx)y,x(f)y,xx(flim0x0x即说明存在，且xzAxz同理可证存在，且yzByz故有yyzxxzdz注意：此命题不可逆。即若两偏导数都存在，也不能保证函数在点（x，y）可微。)y,x(fz讨论函数：0yx00yxyxxy222222由以前的讨论可知，在点（0，0）处它的两个偏导数都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可微。定理（可微的充分条件）如果函数的两个偏导数在点（x，y）都存在且连续，则该函数再给点可微。)y,x(fzyz,xz以上有关概念和定理均可以退到三元及三元以上的函数中去。由于自变量的微分等于自变量的微分，故二元函数的全微分习惯上可写为)y,x(fzdyyzdxxzdz类似地，三元函数的全微分为)z,y,x(uudzzudyyudxxudu例1求函数的全微分。62354yxxyz解：先求函数的两个偏导数：522633012104yxxyyzxyyxz所以dyyxxydxxyydz)3012()104(5263例2求函数在点（2，-1）处的全微分。32),(yxyxf解：因为12)1,2(,4)1,2(3),(,2),(223yxyxffyxyxfxyyxf所以dydxdz124|)1,2(例3设函数在点（0，0）有增量Δx=0.2，Δy=0.3，求全微分dz。)y4x3sin(ezyx2解：3)y4x3cos(e3)y4x3sin(e2xz0y0xyx2yx20y0x4)y4x3cos(e4)y4x3sin(eyz0y0xyx2yx20y0x所以8.13.042.03yyzxxzdz此题可理解为：在点（0，0）处x，y分别有增量Δx=0.2，Δy=0.3时，函数也产生增量Δz，并且Δz≈dz=1.8。三全微分在近似计算中的应用应用的公式：y)y,x(fx)y,x(fdzz)1(00y00x例4设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的20cm变到20.1cm，高由原来的40cm减少到39.5cm，求该金属体体积变化的近似值。解：设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为V则有hrV2所以hrrrh2hhVrrVdV2其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5由公式（1）得)cm(6.125)5.0(2014.31.0402014.32dVV32即金属体受压后体积减少了125.6cm3。由公式（1）还可得y)y,x(fx)y,x(f)y,x(f)yy,xx(f)2(00y00x0000例5计算的近似值。3398.103.1解：构造函数，则33yx)y,x(f332xyx2x3)y,x(f332yyx2y3)y,x(f取02.0y,01.0x,2y,1x00则3321)2,1(f2)2,1(f,5.0)2,1(fyx所以965.2)02.0(201.05.0398.101.133...