三角恒等变换VIP免费

栏目索引§4.3三角恒等变换知识清单考点两角和与差的三角公式和二倍角公式栏目索引tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ);tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).(2)升幂公式1+cosα=2cos2;1-cosα=2sin2.(3)降幂公式sin2α=;cos2α=.(4)其他常用变形sin2α==;cos2α==;2α2α1cos22α1cos22α222sincossincosαααα22tantan1αα2222cossincossinαααα221tan1tanαα拓展延伸1.公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形栏目索引1±sinα=;tan==.2.辅助角公式asinα+bcosα=sin(α+φ),其中cosφ=,sinφ=.2sincos22αα2αsin1cosαα1cossinαα22ab22aab22bab栏目索引三角函数式的化简方法1.化简原则(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角合理地拆分,从而正确运用公式;(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定要使用的公式;(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等.2.化简要求(1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少;(2)尽量使分母不含三角函数;(3)尽量使被开方数不含三角函数等.方法技巧方法1栏目索引3.化简方法(1)直接应用公式进行降次、消项;(2)切化弦、异角化同角、异次化同次、异名化同名;(3)三角公式的逆用等.例1(1)(2014课标Ⅰ,8,5分)设α∈,β∈,且tanα=,则(C)A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=(2)化简:(0<θ<π)=.0,20,21sincosββ2222(1sincos)sincos2222cosθθθθθ栏目索引解题导引(1)由切化弦及两角差的正弦得cosα=sin(α-β)利用诱导公式得sin=sin(α-β)利用α、β的取值范围得α-β=-α结论(2)利用倍角公式化成同角三角函数利用同角三角函数关系及θ的范围得结果2α2栏目索引解析(1)由tanα=,得=,即sinαcosβ=cosα+sinβcosα,所以sin(α-β)=cosα,又cosα=sin,所以sin(α-β)=sin,又因为α∈,β∈,所以-<α-β<,0<-α<,因此α-β=-α,所以2α-β=,故选C.(2)原式==cos·=.1sincosββsincosαα1sincosββ2α2α0,20,2222222222sincos2cossincos222224cos2θθθθθθ2θ22sincos22cos2θθθcoscos2cos2θθθ栏目索引因为0<θ<π,所以0<<,所以cos>0,所以原式=-cosθ.2θ22θ答案(2)-cosθ栏目索引三角函数式的求值方法1.“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上看是很难的,但非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用这种关系,结合公式转化为特殊角的三角函数并且消掉非特殊角的三角函数而得解.2.“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数式的值,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系.3.“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一三角函数值,再求角的范围,确定角.例2(1)(2017湖北百所重点学校高三联考,10)4sin80°-等于(B)A.B.-C.D.2-3cos10sin103322方法2栏目索引(2)(2017课标全国Ⅰ,15,5分)已知α∈,tanα=2,则cos=.0,24α解题导引(1)对原式进行通分利用诱导公式及拆角公式进行化简结论(2)由tanα==2得sinα=2cosα结合sin2α+cos2α=1及α的取值范围得sinα与cosα的值代入两角差的余弦公式得结果sincosαα栏目索引解析(1)4sin80°-======-.故选B.(2)因为α∈,且tanα==2,所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以sinα=,cosα=,则cos=cosαcos+sinαsin=×+×=.cos10sin104sin80sin10cos10sin102sin20cos10sin102sin(3010)cos10sin102sin30cos102cos30sin10cos10sin103sin10sin1030,2sincosαα255554α4455222552231010答案(2)31010栏目索引利用辅助角公式解决问题的方法利用asinx+bcosx=sin(x+φ)把形如y=asinx+bcosx+k的函数化为一个角的一种三角函...