北师大版八年级下册数学压轴题专题

1 小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P，Q 分别在菱形ABCD 的边BC，CD 上，∠PAQ=∠B，求证：AP=AQ． （1）小敏进行探索，若将点P，Q 的位置特殊化；把∠PAQ 绕点A 旋转得到∠EAF，使 AE⊥BC，点E，F 分别在边BC，CD 上，如图2．此时她证明了 AE=AF，请你证明． （2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作 AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F．请你继续完成原题的证明． （3）如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）． 方法：（1）________________________________________________________ （2）________________________________________________________ （3）________________________________________________________ 1（1）证明： 四边形ABCD 是菱形， ∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD， ∠EAF=∠B， ∴∠EAF+∠C=180°，∴∠AEC+∠AFC=180°， AE⊥BC，∴AF⊥CD， 在△AEB 和△AFD 中， ，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF； （2）证明：由（1）得，∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF，∴∠EAP=∠FAQ， 在△AEP 和△AFQ 中， ，∴△AEP≌△AFQ，∴AP=AQ； （3）解：已知：AB=4，∠B=60°，求四边形APCQ 的面积， 解：连接AC、BD 交于O， ∠ABC=60°，BA=BC，∴△ABC 为等边三角形， AE⊥BC，∴BE=EC，同理，CF=FD， ∴四边形AECF 的面积=×四边形ABCD 的面积， 由（2）得，四边形APCQ 的面积=四边形AECF 的面积， OA=AB=2，OB=AB=2， ∴四边形ABCD 的面积=×2×2×4=8， ∴四边形APCQ 的面积=4． 2 问题：如图①，在Rt△ABC 中，AB=AC，D 为BC 边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为 ； 探索：如图②，在Rt△ABC 与Rt△ADE 中，AB=AC，AD=AE，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用：如图③，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若 BD=9，CD=3，求 AD 的长． 方法：（1）________________________________________________________ （2）________________________________________________________ （3）________________________________________________________ 2 解：（1）BC=DC+EC...