函数对称性、周期性全解析VIP免费

函数的对称性和奇偶性函数函数对称性、周期性基本知识一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、对称性定义（略），请用图形来理解。3、对称性：我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数关于对称也可以写成或简证：设点在上，通过可知，，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。若写成：，函数关于直线对称（2）函数关于点对称或简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。若写成：，函数关于点对称（3）函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。4、周期性：（1）函数满足如下关系系，则A、B、C、或（等式右边加负号亦成立）D、其他情形（2）函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”1（3）如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上）如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为（以上）（4）如果奇函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T），则函数)(xfy是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数)(xfy满足)()(xTfxTf（0T），则函数)(xfy是以2T为周期的周期性函数。定理3：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.二、两个函数的图象对称性1、)(xfy与)(xfy关于X轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。2、)(xfy与)(xfy关于Y轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。3、)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。4、与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。5、关于点(a,b)对称。换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。6、与关于直线对称。7、函数的轴对称：定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.2推论2：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.8、函数的点对称：定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论4：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、试题1．已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（A）.A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负.分析：形似周期函数，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替，使变形为.它的特征就是推论3.因此图象关于点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.，且函数在上单调递增，所以，又由，有，.选A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.2：在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则(B)A.在区间上是增函数，在区间上是减函数B.在区间上是增函数，在区间上是减函数3C.在区间[2,1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数分析：由可知图象关于对称，即推论1的应用.又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.故选B3.定义在R上的函数既是奇函数，又是周...