函数极限连续一.填空题1．设,则a=________.解.可得=,所以a=2.2.=________.解.<<所以<<,(n),(n)所以=3.已知函数,则f[f(x)]_______.解.f[f(x)]=1.4.=_______.解.=5.=______.解.6.已知(0),则A=______,k=_______.解.所以k－1=1990,k=1991;二.单项选择题1.设f(x)和(x)在(－,+)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)0,(x)有间断点,则(a)[f(x)]必有间断点(b)[(x)]2必有间断点(c)f[(x)]必有间断点(d)必有间断点解.(a)反例,f(x)=1,则[f(x)]=1(b)反例,[(x)]2=1(c)反例,f(x)=1,则f[(x)]=1(d)反设g(x)=在(－,+)内连续,则(x)=g(x)f(x)在(－,+)内连续,矛盾.所以(d)是答案.2.设函数,则f(x)是(a)偶函数(b)无界函数(c)周期函数(d)单调函数解.(b)是答案.3.极限的值是(a)0(b)1(c)2(d)不存在解.=,所以(b)为答案.4.设,则a的值为(a)1(b)2(c)(d)均不对解.8===,,所以(c)为答案.5.设,则,的数值为(a)=1,=(b)=5,=(c)=5,=(d)均不对解.(c)为答案.6.设,则当x0时(a)f(x)是x的等价无穷小(b)f(x)是x的同阶但非等价无穷小(c)f(x)比x较低价无穷小(d)f(x)比x较高价无穷小解.=,所以(b)为答案.7.设,则a的值为(a)－1(b)1(c)2(d)3解.,1+a=0,a=－1,所以(a)为答案.8.设,则必有(a)b=4d(b)b=－4d(c)a=4c(d)a=－4c解.2==,所以a=－4c,所以(d)为答案.1.求下列极限(1)解.(2)解.令=(3)解.===.2.求下列极限(1)解.当x1时,,.按照等价无穷小代换(2)解.方法1：========方法2：=======3.求下列极限(1)解.(2)解.(3),其中a>0,b>0解.=4.求下列函数的间断点并判别类型(1)解.,所以x=0为第一类间断点.(2)解.显然,所以x=1为第一类间断点;,所以x=－1为第一类间断点.(3)解.f(+0)=－sin1,f(－0)=0.所以x=0为第一类跳跃间断点;不存在.所以x=1为第二类间断点;不存在,而,所以x=0为第一类可去间断点;,(k=1,2,…)所以x=为第二类无穷间断点.5.设,且x=0是f(x)的可去间断点.求,.解.x=0是f(x)的可去间断点,要求存在.所以.所以0==所以=1.=上式极限存在,必须.6.设,b0,求a,b的值.解.上式极限存在,必须a=(否则极限一定为无穷).所以=.所以.7.讨论函数在x=0处的连续性.解.当时不存在,所以x=0为第二类间断点;当时,所以时,在x=0连续,时,x=0为第一类跳跃间断点.8.设f(x)在[a,b]上连续,且ab,试证在(a,b)内至少存在一个,使f()=.证明:假设F(x)=f(x)－x,则F(a)=f(a)－a<0,F(b)=f(b)－b>0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个,使f()=.10.设f(x)在[0,1]上连续,且0f(x)1,试证在[0,1]内至少存在一个,使f()=.证明:(反证法)反设.所以恒大于0或恒小于0.不妨设.令,则.因此.于是,矛盾.所以在[0,1]内至少存在一个,使f()=.11.设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且f(a)g(b),试证在(a,b)内至少存在一个,使f()=g().证明:假设F(x)=f(x)－g(x),则F(a)=f(a)－g(a)<0,F(b)=f(b)－g(b)>0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个,使f()=.12.证明方程x5－3x－2=0在(1,2)内至少有一个实根.证明:令F(x)=x5－3x－2,则F(1)=－4<0,F(2)=24>0所以在(1,2)内至少有一个,满足F()=0.13.设f(x)在x=0的某领域内二阶可导,且,求及.解..所以.f(x)在x=0的某领域内二阶可导,所以在x=0连续.所以f(0)=－3.因为,所以,所以=由,将f(x)泰勒展开,得,所以,于是.(本题为2005年教材中的习题,2006年教材中没有选入.笔者认为该题很好,故在题解中加入此题)倒数与微分一.填空题(理工类)1.,则=_______.解.,假设,则,所以2.设,则______.解.,3.设函数y=y(x)由方程确定,则______.解.,所以4.已知f(－x)=－f(x),且,则______.解.由f(－x)=－f(x)得,所以所以5.设f(x)可导,则_______.解.=+=6.设,则k=________.解.,所以所以7.已知,则_______.解.,所以.令x2=2,所以8.设f为可导函数,,则_______.解.9.设y=f(x)由方程所确定,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的法线方程为_______.解.上式二边求导.所以切线斜率.法线斜率为,法线方程为,即x－2y+2=0.二.单...
