函数项级数一致收敛的判别姓名：学号：指导老师：摘要：函数项级数问题是数学分析中极其重要的部分，判别其一致收敛的方法有多种。本文探讨了对函数项级数一致收敛的判别方法,并对有关的注意事项进行了分析。关键字：函数项级数一致收敛判别法JudgmentonUniformConvergenceforFunctionSeriesName:StudentNumber:Advisor:Abstract:IssueoffunctionseriesplaysaveryimportantroleinMathematicalAnalysis.Therearevariousmethodstojudgingtheuniformconvergenceoffunctionseries.Thispapergivesseveralmethodsofjudingtheuniformconvergenceoffunctionseries.Apartfromthat,thepaperalsoanalysizessomerelativepointsthatneedtobepaidspecialattention.Keywords:FunctionseriesUniformlyconvergenceJudgment在数学分析中级数问题是一个特别重要的问题。级数内容主要分为两大块，即数项级数与函数项级数。数项级数通常被认为是函数项级数的一个典型例子，而函数项级数，在某种意义上，是对数项级数的延伸。在研究内容和性质上，它们又有着许多类似的地方，例如使用第个部分和数列的敛散性来判断级数的敛散性，以及判别收敛性的方法等。对于函数项级数，研究它的性质和一致收敛的判别则是学习的重点，并且它还是研究级数问题最重要的工具，对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用。教材中判别一致收敛的方法有很多，下面给出一种最基本的方法，即根据一致收敛的定义来进行判别。一利用一致收敛的定义定义1[1]：设函数项级数在上和函数为，称-为函数项级数的余项.1定义2[1]：设函数项级数在区间上收敛于和函数，若任给有，则称函数项级数在区间上一致收敛或一致收敛于和函数.例1证明：函数项级数在(其中)一致收敛。证因为有=,要使不等式=成立，从不等式解得取N=于是N=有2即函数项级数在一致收敛。以上的方法判别函数项级数的一致收敛性，都必须要给出和函数，如果在题目中没有给出或者很难计算出和函数，那么怎样才能判别它的一致收敛性，这时可以使用余项法来进行判断。二利用余项的一致收敛性定理1[2]函数项级数在区间上一致收敛于的充要条件是：.例2证明：函数项级数在内一致收敛.证设函数，则，可见,当充分大时，级数通项的绝对值趋于0，（当），故该级数为Leibniz级数，因而（当）所以函数级数在内一致收敛.注意如果函数项级数的和函数或余项易于求得，判别它的一致收敛性可应用上述的定义2或定理1.有时虽然知道函数项级数在区间上收敛，但很难求得它的和函数或余项，这时候，如果要想判别此函数项级数在区间上的敛散性，可以通过分析级数本身的结构和组合特点，并对相关的判别法进行比较，选择最恰当的方法，下面给出Cauchy判别法。3三利用Cauchy准则判别定理2[3]函数项级数在区间上一致收敛的充要条件为：对任意给定的存在正整数，使得当时，对一切和任意的，都有:.或例3证明：函数项级数在区间上一致收敛证.即要使不等式=成立.从不等式解得取N=，于是，N=，，，有,即级数在区间上一致收敛。4通过上文的几个例题，我们可以看出，判别函数项级数的一致收敛性的方法有很多，这就要求大家在平时学习时，要学会善于总结。在做题目的过程中，我们会发现有这样一类级数，它们可以通过各项的特点来判别，比如对级数的通项进行适当放大，这样就会显得更加简便，下面给出利用weierstrass判别法。四利用weierstrass判别法定理3[4]设函数项级数定义在数集上，为收敛的正项级数，若，每一项满足，则函数项级数在数集上一致收敛.例4证明：函数项级数在闭区间上一致收敛.证对通项求导，令得出全部极值可疑点，1，,因为所以，为在上的最大值，因此，又收敛，故由M判别法知，函数项级数在上一致收敛.5注意定理3是一种很简便而又有技巧性的判别法，但是这个方法有很大的局限性，即用它判别的函数项级数不仅一致收敛，而且还是绝对收敛的。但如果函数项级数是一致收敛的，并且它还是条件收敛的，此时运用定理3进行判别就会失效。[5]若函数项级数条件收敛，此时要判别其一致敛散性，通常使用狄尼克雷或阿贝尔判别法，它们可以在一定程度上弥补上述的局限性。五利用狄尼克雷判别法定理4[6]若级数...
