大学生数学竞赛级数

82 级数 1 、利用0limnna判断级数1nna 发散 例 1（1）判断级数131sin)13(nnnn的敛散性 解：因为n31sin~n31，故原级数和级数131)13(nnnn有相同的敛散性 0)311(lim31)13(lim31ennnnnnn，故原级数发散 （2）1!nnnnen 解：因为nknxdxnkn1100lnln1lim 所以)1ln1(lim1!limnknnknnnnnenen的极限不存在故原级数发散 2 、利用比值判别法、根值判别法判断级数的敛散性 注意：一些常见的极限 （1 ）1limnnban （2 ）|}||,max{|limbabannnn 例 2（1）判断级数13nnnne的敛散性 解：1)3(113limeeennnnnnn，故原级数收敛 （2）判断级数1ln)(lnnnnnn的敛散性 83 解：10lnlim)(lnlim2)(lnlnnennnnnnnnn，故原级数收敛 （3）判断级数1!nnnnna的敛散性 解：eananannnaaannnnnnnnnn)11(lim!)1()!1(limlim111 当ea ，原级数发散；当ea 原级数收敛；当ea 时，由于0!limnnnnne故原级数发散 （4）1)(nnnab（aannlim，0,0nab） 解：abababannnnnnnnnlim)(limlim 当ab 时，级数收敛；当ab 时，级数发散； 3 、利用等价无穷小替换判断级数的敛散性 方法：如果nnba ~，则1nna 和1nnb 有相同的敛散性 例 3(1)1)11ln(nnn （0） 解：因为nn1~)11ln( ，所以原级数和111nn 有相同的敛散性 由于 11 ，故111nn 收敛，即原级数收敛 (2)11nn nn 84 解；11limnnnnn所以原级数和11nn 有相同的敛散性，原级数发散 (3)111)1(nnpnn 解；由于pnpnn1~11，故原级数和11)1(npnn有相同的敛散性 当1p时，级数绝对收敛；当 10 p时，级数条件收敛 （4）12ln1nnn 解：因为222ln111ln1nnnnn，而1)ln1(lim2nnn 所以 nnln12 ~21n，故原级数收敛 4 、利用比较判别法判断级数的敛散性 常用不等式nn ln 例 4（1）13ln1nn 解：因为nn ln，所以nnn3ln3ln13 由于13nn 发散，故原级数发散 （2）dxxxnn11041 分析：判断被积函数的单调性，求出被积函数在积分区间内的最值 解：因为xxx...