12．3 角的平分线的性质第 1 课时 角平分线的性质1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．(重点)2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点) 一、情境导入问题：在 S 区有一个集贸市场 P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从 P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题 1：怎样修建道路最短？问题 2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的作法 如图，AB∥CD，以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径作圆弧，分别交 AB，AC 于 E，F两点，再分别以 E、F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP，交 CD于点 M.若∠ACD＝120°，求∠MAB 的度数．解析：根据 AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°，再根据 AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．解： AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°，又 ∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°，由作法知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB＝∠CAB＝30°.方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确 AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键．探究点二：角平分线的性质【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图：在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点 D 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距离，即 CD＝DE.再根据 Rt△CDF≌Rt△EDB，得 CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到 AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1) AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC. 在 Rt△DCF 和Rt△DEB 中， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．∴CF＝EB；(2) AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC 与△ADE 中， ∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】 角平分线的性质与三角形面积 的综合运用 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC 的长是( )A．6 B．5 C．4 D．3解析：过点 D 作 DF⊥AC 于 F， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝×4×2＋AC×2＝7，解得 AC＝3....
