12．3 角的平分线的性质第 1 课时 角平分线的性质1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．(重点)2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点) 一、情境导入问题：在 S 区有一个集贸市场 P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从 P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题 1：怎样修建道路最短
问题 2：往哪条路走更近呢
二、合作探究探究点一：角平分线的作法 如图，AB∥CD，以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径作圆弧，分别交 AB，AC 于 E，F两点，再分别以 E、F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP，交 CD于点 M
若∠ACD＝120°，求∠MAB 的度数．解析：根据 AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°，再根据 AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．解： AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°，又 ∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°，由作法知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB＝∠CAB＝30°
方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确 AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键．探究点二：角平分线的性质【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图：在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD＝DF
求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB
解析：(1)根据角平分线的性质，可得点 D 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距离，即 CD＝DE
再根据 Rt△CDF≌Rt△EDB，得 CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到 AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1) AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥A
