特征根法求数列通项

来源：网络转载特 征 根 法 在 求 递 推 数 列 通 项 中 的 运 用各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如：（08 年广东高考） 设 p、q 为实数， α 、β 是方程 x2-px+q=0 的两个实数根，数列{x n} 满足 x1=p,x 2=p2-q,xn=pxn-1-qx n-2(n=3,4,5 ⋯⋯ ) 1）⋯⋯⋯⋯⋯2）求数列 {x n} 的通项公式。3）若1p，41q，求数列 {x n} 的前 n 项的和 sn (09 年江西高考 ) 各项均为正数的数列na中都有的正整数且对满足qpnmqpnmbbaa,,,,,11，)1)(1(mnmnaaaa)1)(1(qpqpaaaa，1）当时，求通项54,21 bana 。像上述两道题， 如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字——遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一——特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。类型一、 递推公式为nnnqapaa12（其中 p，q 均为非零常数）。先把原递推公式转化为)(112112nnnnaxaxaxa，其中21, xx满足qxxpxx2121，显然21, xx是方程02qpxx的两个非零根。来源：网络转载1）如果0112axa，则0112nnaxa，na 成等比，很容易求通项公式。2）如果0112axa，则 {112nnaxa} 成等比。公比为2x ，所以1211211)(nnnxaxaaxa，转化成：)(1122221121axaxaxxxannnn，(I) 又如果21xx，则 {121nnxa} 等差，公差为)(112axa，所以))(1(11122121axanaxann，即：1211221)])(1([nnxaxanaa12211222])()2([nnxxaxanxaa可以整理成通式：12)(nnxBnAaIi) 如果21xx，则令1121nnnbxa，Axx21，Baxa)(112, 就有BAbbnn 1，利用待定系数法可以求出nb 的通项公式所以2221211212121221])()()1([nnnxxxxaxaxxxxxxaa，化简整理得：1221211112121)1(nnnxxxaxaxxxxaa，小结特征根法 ：对于由递推公式nnnqapaa12，21, aa给出的数列na，方程02qpxx，叫做数列na的特征方程。若21, xx是特征方程的两个根，当21xx时，数列na的通项为1211nnnBxAxa，其中 A，B 由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入1211nnnBxAxa，得到关于 A、B的方程组）；当21xx时，数列na的通项为12)(nnxBnAa，其中来源：网络转载A，B 由21, aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入12)(nnxBnAa，得到关于 A、B的方程组）。简例应用（特征根法）...