特征方程法求递推数列通项公式

1 / 11 特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{na的项满足dcaabann 11,,其中,1,0 cc求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,dcxx称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理 1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10ax时，na为常数列，即0101,;xbaaxaannn时当，其中}{nb是以 c 为公比的等比数列，即01111,xabcbbnn. 证 明 ： 因 为,1,0c由 特 征 方 程 得.10cdx作 换 元,0xabnn则.)(110011nnnnnncbxacccdcacddcaxab当10ax时，01b，数列}{nb是以 c 为公比的等比数列，故;11nncbb当10ax时，01b，}{nb为 0 数列，故.N,1 naan（证毕）下面列举两例，说明定理1 的应用 . 例 1．已知数列}{na满足：,4,N,23111anaann求.na解：作方程.23,2310xxx则当41a时，.21123,1101abxa数列}{nb是以31为公比的等比数列.于是.N,)31(2112323,)31(211)31(1111nbabbnnnnnn例 2．已知数列}{na满足递推关系：,N,)32(1niaann其中 i 为虚数2 / 11 单位。当1a 取何值时，数列}{na是常数数列？解 ： 作 方 程,)32(ixx则.5360ix要 使na 为 常 数 ， 即 则 必 须.53601ixa二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式nnnqapaa12，21,aa给出的数列na，方程02qpxx，叫做数列na的特征方程。若21, xx是 特 征 方 程 的 两 个 根 ， 当21xx时 ， 数 列na的 通 项 为1211nnnBxAxa，其中 A，B 由21, aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入1211nnnBxAxa，得到关于 A、B 的方程组） ；当21xx时，数列na的通项为11)(nnxBAa，其中 A ，B 由21, aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入11)(nnxBnAa，得到关于 A 、B的方程组）。例3：已知数列na满足),0(0253,,1221Nnnaaabaaannn，求数列na的通项公式。解法一（待定系数——迭加法）由025312nnnaaa，得)(32112nnnnaaaa，且abaa12。则数列nnaa1是以ab为首项，32 为公比的等比数列，于是11)32)((nnnabaa。把nn,,3,2,1代入，得3 / 11 abaa12，)32()(23abaa，234)32()(abaa，21)32)((nnnabaa。把以上各式相加，得])32()32(321)[(21nnabaa)(321)32(11abn。abbaaabannn23)32)((3)]()32(33[11。解法二（特征根法）：数列na...