【例1】如图，在中，，垂足为．分别是上的点，且．如果，那么__________．【答案】【例2】、分别是正方形的、边上的点，且．求证：．【答案】在和中∴∴ ∴∴【例3】、、分别是正方形的、、边上的点，，．求证：．【例4】如图，矩形中，是上一点，交于点，若，矩形周长为，且，求的长．【答案】 ，∴． ，∴．在三角形与中，，，，∴．∴． 矩形周长为，∴． ，∴且．∴．即【例5】如图，已知中，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为，之间的距离为，则的长是______．CBAl3l2l1【答案】【例6】两个全等的、的三角板、，如右下图所示摆放，、、在一条直线上，连结．取的中点，连结、，试判断的形状，并说明理由．【解析】判断是等腰直角三角形．理由：如图，连结． ，，∴ ，∴又 是的中点，∴∴∴∴∴ ，∴∴，而，∴即，∴是等腰直角三角形．【例7】已知等腰直角三角形，为直角，为的中点．．求证：．求证：．【例8】如图所示，已知在等腰直角三角形中，是直角，是上一点，，的延长线交于，若，求证：是的中点．【答案】过作垂直于交延长线于点；易证，；进而证明，得到，则为中点．【例9】如图所示，在等边中，，为的中心，为的中点，求证．【答案】如图所示，延长至点，使，连接、、、、．因为，，，故≌，则，．因为，则，．因为为的中心，则，．因为，故≌，从而．因为，故．【点评】如果具备三角形相似的知识，我们就可以采取下面的解法．如图所示，取的中点，连接、、、．因为为的中心，故，．因为，，故．因为，，故，因为，故∽，，则、、、四点共圆．因为，故．【例10】已知为等腰直角的斜边上任意一点，、分别为、之垂线，垂足为、．为之中点．则、、组成等腰直角三角形．【答案】解法一：如图，连接，则为之中线，亦为之高．∴． ，∴为矩形，故．又 ，∴为等腰直角三角形，∴．∴．又 ，，∴，∴，． ，∴，即．∴为等腰直角三角形．解
