【例1】如图，在中，，垂足为．分别是上的点，且．如果，那么__________．【答案】【例2】、分别是正方形的、边上的点，且．求证：．【答案】在和中∴∴ ∴∴【例3】、、分别是正方形的、、边上的点，，．求证：．【例4】如图，矩形中，是上一点，交于点，若，矩形周长为，且，求的长．【答案】 ，∴． ，∴．在三角形与中，，，，∴．∴． 矩形周长为，∴． ，∴且．∴．即【例5】如图，已知中，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为，之间的距离为，则的长是______．CBAl3l2l1【答案】【例6】两个全等的、的三角板、，如右下图所示摆放，、、在一条直线上，连结．取的中点，连结、，试判断的形状，并说明理由．【解析】判断是等腰直角三角形．理由：如图，连结． ，，∴ ，∴又 是的中点，∴∴∴∴∴ ，∴∴，而，∴即，∴是等腰直角三角形．【例7】已知等腰直角三角形，为直角，为的中点．．求证：．求证：．【例8】如图所示，已知在等腰直角三角形中，是直角，是上一点，，的延长线交于，若，求证：是的中点．【答案】过作垂直于交延长线于点；易证，；进而证明，得到，则为中点．【例9】如图所示，在等边中，，为的中心，为的中点，求证．【答案】如图所示，延长至点，使，连接、、、、．因为，，，故≌，则，．因为，则，．因为为的中心，则，．因为，故≌，从而．因为，故．【点评】如果具备三角形相似的知识，我们就可以采取下面的解法．如图所示，取的中点，连接、、、．因为为的中心，故，．因为，，故．因为，，故，因为，故∽，，则、、、四点共圆．因为，故．【例10】已知为等腰直角的斜边上任意一点，、分别为、之垂线，垂足为、．为之中点．则、、组成等腰直角三角形．【答案】解法一：如图，连接，则为之中线，亦为之高．∴． ，∴为矩形，故．又 ，∴为等腰直角三角形，∴．∴．又 ，，∴，∴，． ，∴，即．∴为等腰直角三角形．解法二：如图，由作，，则显然由于为之中点，，，∴为正方形，故．又设交于，则 ，，∴．而．∴为矩形，故．同理．又 ，∴．∴为等腰直角三角形，∴，故．又，．∴，∴，．又，∴．即，故为等腰直角三角形．解法三：如图，延长到，使，连接． ，∴、、、点组成平行四边形．∴，．又 ，∴，∴．又 ，，∴．同理． 为矩形，∴，，故．而，∴，．∴．∴，，． ，∴．故．∴为等腰直角三角形．而为底边之中点，所以亦为等腰直角三角形．解法四：如图，连接，则因为为之中点，所以，平分，即．由向引垂线，向引垂线，显然为矩形．则．又 为等腰直角三角形，．又 ，，，∴为矩形，故．于是在和中，，，，∴，∴，故．又 ， ，即．同理，为等腰直角三角形．解法五：如图，连接、． ，为等腰直角三角形，∴．∴、、、点共圆．∴．又 ，∴，∴、、、点共圆．∴，，∴是等腰直角三角形．【例11】长方形中，，，的角平分线交于点，交于，则_________．【解析】由，平分可知．由基本图可知，故又，，故．由勾股定理可知，．从而可知．【答案】5【例12】如图，设和都是正三角形，且，则的度数是()A．B．C．D．【答案】分析既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系．解易知，，于是,从而,在考虑到,有：从而，选B。【例13】已知：是的高，点在的延长线上，，点在上，，求证：⑴；⑵．【答案】如图，设交于．⑴由，，知．而，故．由已知，有，，从而，即有．⑵由⑴可得，而．．从而可得，即．【例14】如图，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．⑴在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；⑵将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；⑶将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为⑵中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．图⑴lPC(F)BA(E)图⑵Q←lPFECBA图⑶←QAEBCFPl4321ABCEFPlQ【答案】（1）；．（2）；．①由已知，得，∴．又 ，∴．∴．在和中，，∴，∴．②如图，延长交于点． ，∴．...
