用不动点法求数列通项的一点几何意义

用不动点法求数列通项的一点几何意义用不动点法求数列通项的一点几何意义猜想孟剑卫( 江苏省东海高级中学，江苏东海) 定义；方程f(x)=x 的根称为函数 f(x)的不动点。利用递推数列f( x) 的不动点 ，可将某些递推关系 an=￡ ( an-1 )所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法叫不动点法。对于这个方法有几个重要定理，若只从代数角度理解，恐怕对许多中学生来说是有难度的。下面笔者对这几个定理予以几何解释：定理 1: 若 f(x)= ax+b(a 半 0,a 半 1), p 是 f(x)的 不动点， an满足递推关系 an=￡ (an-1 ),(n>1) 则 an-P=a(a n-i-p),即｛ a n-P ｝是公比为a 的等比数列。它的代数证明如下： 证明：因为 p 是 f ( x) 的不动点 ，所以ap+b=p, 所以 b-p=-ap, 由 an=a. a n-i +b 得 an-p=a. an-i+b-p=a(a n-i-p),所以 ｛ a n-P ｝是公比为a 的等 比数列。对这一定理的几何意义如下：f(x)=x, 即 f(x)与 g(x)=X 的交点 一目了然，an-p /a n-i-p 即为f(x)的斜率 a。定理 2*钱才住)= 竺卫/ 工 0 申 M- 氐｛%｝満足递推关系 叫cx + d 初值条件⑷ 芒/(% ) CD.若/(x) 两个相异的不动 山从「 则生二￡ = 上?乩二￡( 这里比=兰二兰仇 一 cf心 | -q a- c/c (2J：若 f(x)不动点 p,则— = — ! — + t ( 这里上二丄 一)^n~ P 気 “―P m + 扭证明! 由/（JC）= J /（X）=山十 "口 T 十 <7工，所以.6 ’ 4 (M —[ —片=0i 2）因为尹是方 f?c^r* + （（ / -a）x- = 0 的唯一解，所以缈 ' 十 0/— 口｝卩一方 =0所以 h— pj=cp，- 碍 7，p = ' ------- ■所以2c(?L+b- ?i - 卬卜“ ■ +屛—叩(tf -L^X? W_L - J?)+ c/所以d + 字1— +----------- - ---- 供 越一坏an-l一十 A；（.1）因旳趴 <7 是不动戊，所以. 叫- 1 +丹 --------------- Pu — pm ] 4 注(a — pc )tra 严 h — pJ a — pcJ 一勺口蕊"一 i 七 h ( ? — qc Jtra b — (id a — qc --------------- 4■B — I令—匚竺，则 空二￡ = , ”吐_ q?口 ”勺- 1 —9° _用, 所以qtl — bpd - bJI - pc Cl - pc - p「 = --------------------------------------------------------------- ?■ ------------------------- ------------------------ ild ...