用基底建模向量法解决立体几何问题

用基底建模向量法解决立体几何问题空间向量是高中数学新教材中一项基本内容，它的引入有利于处理立体几何问题，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，有利于丰富学生的思维结构，利用空间向量的坐标运算解立体几何问题,可把抽象的几何问题转化为代数计算问题,并具有很强的规律性和可操作性, 而利用空间向量的坐标运算需先建立空间直角坐标系，但建立空间直角坐标系有时要受到图形的制约 ,在立体几何问题中很难普遍使用，其实向量的坐标形式只是选取了特殊的基底， 一般情况下 , 我们可以根据题意在立体几何图形中选定一个基底 ,然后将所需的向量用此基底表示出来, 再利用向量的运算进行求解或证明, 这就是基底建模法 . 它是利用向量的非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法。基向量法在解决立体几何的证明、求解问题中有着很特殊的妙用。空间向量基本定理及应用空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p 存在惟一的有序实数组x、y、z, 使 p=x a+ y b+ z c. 1、已知空间四边形OABC中，∠ AOB=∠BOC= ∠AOC, 且 OA=OB=OC. M，N分别是 OA，BC的中点， G是MN的中点 . 求证： OG⊥BC. 【解前点津】要证 OG⊥BC，只须证明0? BCOG即可 . 而要证0?BCOG, 必须把OG 、 BC 用一组已知的空间基向量来表示. 又已知条件为∠AOB=∠BOC=∠ AOC, 且 OA=OB=OC，因此可选OCOBOA,,为已知的基向量. 【规范解答】连 ON由线段中点公式得：例 1 题图),(41)(212121)(21OCOBOAOCOBOAONOMOG又OBOCBC, 所以?OGOBOCOBOBOAOCOCOBOCOAOBOCOCOBOAOB?????22(41)()(41) =41 ( OA22OBOCOBOAOC??). 因为AOCOCOAOCOA???cos. AOBOBOAOBOA???cos且OAOBOC，∠ AOB=∠ AOC. 所以BCOG ?=0, 即 OG⊥ BC. 【解后归纳】本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力. 【例 2】 在棱长为 a 的正方体 ABCD— A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与 AC所成的角 . 【解前点津】利用??ACBAACBAACBA,cos111，求出向量1BA 与 AC 的夹角〈1BA , AC 〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角. 【规范解答】因为BCABACBBBABA,11, 所以)()(11BCABBBBAACBA??=BCBBABBBBCBAABBA????11因为 AB⊥BC，BB1⊥AB， BB1⊥BC，所以ABBBBCBA??1,0=0, ABBABCBB??,01=- a2. 所以ACBA ?1=- a2. 又,,cos111???ACBAACBAACBA.2122,cos21aaaACBA所以〈ACBA ,1...