子式和代数余子式

3.4 子式和代数余子式 行列开的依行依列展开 教学目的： 1. 掌握计算行列 式的能力 2. 通过一些比较典型的例题分析和习题训练,掌握行列式计算中的一些技巧 教学内容: 1. 子式和余子式: 定义 1 在一n阶行列式D 中任意取定 k行k列.位于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D 的一个 k阶子式. 例 1 在四阶行列式 D=44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa 中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于这些行列的相交处的元素就构成 D 的一个二阶子式 M=34312421aaaa 定义 2 n(n>1)阶行列式 D= n nn jninijinjaaaaaaaaa111111 的某一元素ija余子式ijM指的是在 D 中划去ija所在的行和列后所余下的n-1 阶子式. 例2 例子的四阶行列式的元素 23M= 444241343231141211aaaaaaaaa 定义 3 n阶行列式D 的元素ija的余子式ijM附以符号ji )1(后,叫做元素ija的代数余子式. 元素ija的代数余子式用符号ijA 来表示: ijA =ji )1(ijM. 例3 例 1 中的四阶行列式D 的元素23a的余子式是 23M=2332)1(M=-23M=- 444241343231141211aaaaaaaaa 现在先看一个特殊的情形，就是一个n阶行列式的某一行（列）的元素最多有一个不是零的情形。 定理 3 .4 .1 若在一个n阶行列式 D= n nn jninijinjaaaaaaaaa111111 中，第 I行（或第 j列）的元素除 aij 外都是零，那么这个行列式等于 aij 与它代数余子式 Aij的乘积： D= aij Aij 证 我们只对行来证明这个定理。 1） 先假定 D的第一行的元素除 aij 外都是零。这时 D=n nnnnaaaaaaa21222211100 我们要证明， D=a11 A11 = a11 （-1）11 M11 = a11 M 11 ， 也就是说， D= a11n nnnnnaaaaaaaaa323333222322 （1） 子式 M 11 的每一项都可以写作 a22 j a33 j ……ann j ， 此处 j2 ，j3 ，…，jn 是 2，3，…n这 n-1个数码的一个排列。我们看项（1）与元素 a11 的乘积 a11 a22 j a33 j ……ann j ， 这一乘积的元素位在 D的不同的行与不同的列上，因此它是 D的一项。反过来，由于行列式D的每一项都含有第一列的一 个元素，而第一行的元素除 a11 外都零，因此 D的每一项都可以写成（2）的形式，...