平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心 已知O 是ABC内的一点，AOBAOCBOC,,的面积分别为AS ，BS ，CS，求证：0•••OCSOBSOASCBA 如图 2 延长OA 与BC 边相交于点 D 则 BCCODACDBODABDCODBODACDBDSSDCBDSSSSSSSSA 图 1 ODBCDC OB  BCBD OC CBBSSSOB CBCSSSOC  CBACOABOACODBODCOACODBOABODSSSSSSSSSSSOAOD 图 2  CBASSSODOA CBASSSOA CBBSSSOB CBCSSSOC 0•••OCSOBSOASCBA 推论 O 是ABC内的一点，且0•••OCOBOAzyx，则 zyxSSSAOBCOABOC:::: OABCDOABC有此定理可得三角形四心向量式 O 是ABC的重心 1:1:1::AOBCOABOCSSS0OCOBOA O 是ABC的内心 cbaSSSAOBCOABOC::::0•••OCOBOAcba O 是ABC的外心 CBASSSAOBCOABOC2sin:2sin:2sin:: 02sin2sin2sin•••OCCOBBOAA O 是ABC的垂心 CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan:: 0tantantan•••OCCOBBOAA OCABD 证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDBADCDAtan,tanADDBBA:tan:tan COABOC SS:ADDB : BASSCOABOCtan:tan: 同理得CBSSAOBCOAtan:tan:，CASSAOBBOCtan:tan: CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan:: 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一 4.2 三角形“四心”的相关向量问题 一．知识梳理： 四心的概念介绍： (1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。  与“重心”有关的向量问题 1 已知G 是ABC△所在平面上的一点，若0GAGBGC，则G 是ABC△的( )． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 如图⑴. A'GCAB 2 已 知 O 是 平 面 上 一 定 点 ， A BC， ，是 平 面 上 不 共 线 的 三个 点 ， 动 点 P 满 足()OPOAABAC，(0)  ，，则 P的轨迹一定通过ABC△的( ). A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】由题意()APABAC，当(0)  ，时，由于 ()ABAC表示 BC 边上的中线所在直线的向量...