平面向量之奔驰定理详解

实用文档 1 平面向量奔驰定理与三角形四心 已知O 是ABC内的一点，AOBAOCBOC,,的面积分别为AS ，BS ，CS ，求证：0•••OCSOBSOASCBA 如图 2 延长OA 与BC边相交于点 D 则 BCCODACDBODABDCODBODACDBDSSDCBDSSSSSSSSA 图 1 ODBCDC OB  BCBD OC CBBSSSOB CBCSSSOC  CBACOABOACODBODCOACODBOABODSSSSSSSSSSSOAOD 图 2  CBASSSODOA CBASSSOA CBBSSSOB CBCSSSOC 0•••OCSOBSOASCBA OABCDOABC 实用文档 2 推论:O是ABC内的一点，且0•••OCOBOAzyx，则 zyxSSSAOBCOABOC:::: 有此定理可得三角形四心向量式 O是ABC的重心 1:1:1::AOBCOABOCSSS0OCOBOA O是ABC的内心 cbaSSSAOBCOABOC::::0•••OCOBOAcba O是ABC的外心 CBASSSAOBCOABOC2sin:2sin:2sin:: 02sin2sin2sin•••OCCOBBOAA O是ABC的垂心 实用文档 3 CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan:: 0tantantan•••OCCOBBOAA 证明：如图O为三角形的垂心，DBCDBADCDAtan,tanADDBBA:tan:tan COABOC SS:ADDB : BASSCOABOCtan:tan: 同理得CBSSAOBCOAtan:tan:，CASSAOBBOCtan:tan: CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan:: 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一 4.2 三角形“四心”的相关向量问题 一．知识梳理： 四心的概念介绍： (1 ) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2 ：1 ； (2 ) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3 ) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； OCABD 实用文档 4 (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。  与“重心”有关的向量问题 1 已知G 是ABC△所在平面上的一点，若0GAGBGC，则G 是ABC△的( ) ． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 如图⑴. 2 已 知 O 是 平 面 上 一 定 点，ABC，，是 平 面 上 不 共 线的三个 点，动 点P 满 足()OPOAABAC，(0) ，，则 P的轨迹一定通过ABC△的( ). A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 【解析】由题意()APABAC，当(0) ，时，由于 ()ABAC表示 BC 边...