数列求前n项和的基本方法和技巧

1 数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11 2、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn 3、 )1(211 nnkSnkn 4、)12)(1(6112 nnnkSnkn 5、 213)]1(21[ nnkSnkn [例1] 已知3log1log23x，求nxxxx32的前n 项和. [例2] 设Sn＝1+2+3+… +n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值. 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531nnxnxxxS①∴ 21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn [例4] 求数列,22,,26,24,2232nn前n 项的和. ∴ 1224nnnS 2 三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个 )(1naa . [例5] 求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210 证明： 设nnnnnnCnCCCS)12(53210… … … … … … … … … … .. ① 把①式右边倒转过来得 0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS （反序） 又由mnnmnCC可得 nnnnnnnCCCnCnS1103)12()12(… … … … ..… … .. ② ①+②得 nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2))(22(2110 （反序相加） ∴ nnnS2)1( [例6] 求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值 ∴ S＝44.5 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112naaan，… 解：设)231()71()41()11(12naaaSnn 将其每一项拆开再重新组合得 )23741()1111(12naaaSnn （分组） 当 a＝1 时，2)13(nnnSn＝2)13(nn （分组求和） 当1a时，2)13(1111nnaaSnn＝2)13(11nnaaa...