2014全国高中数学联合竞赛一试参考答案及评分标准

2014 年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共 8 小题，没小题 8 分，共 64 分。1.若正数 a、b 满足2 log2 a  2 log3 b  log6(a b) ，则 11的值为.ab2.设集合{ b1 a  b  2}中最大元素与最小元素分别为M ,m ，则 M  m 的值.3.若函数 f (x)  x  a x 1 在[0,) 上单调递增，则实数a 的取值范围是.4.数列an满足a1  2,an1 23a2(n  2)a2014an （ n N ），则=.n 1a1  a2  a20135.正四棱锥 P  ABCD 中，侧面是边长为 1 的正三角形，M,N 分别是边 AB,BC 的中点，则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是.6.设椭圆  的两个焦点是 F1, F2 ,过点 F1 的直线与  交于点 P,Q ,若 PF2  F1F2 且3PF1  4QF1 ,则椭圆 的短轴与长轴的比值为.PB与APC 的7.设等边三角形 ABC 的内切圆半径为 2，圆心为 I。若点 P 满足 PI=1，则 A面积之比最大值为.8.设 A,B,C,D 是空间四个不共面的点，以 1的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间2是否连边是相互独立的，则 A, B 可用（一条边或者若干条边组成的）空间折现连接的概率为.二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9.（本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中，P 是不在 x 轴上的一个动点，满足条件呢：过 P 可作抛物线 y2  4x 的两条切线，两切点连线lp 与 PO 垂直.设直线lp 与直线 PO，x 轴的交点分别为 Q,R。（1）证明 R 是一个定点；（2）求10.（本体满分 20 分）数列an满足 a1 PQQR的最小值。6 ，an1  arctan(sec求正整数m ，an)(n N)。使得：sin a1 sin a2 sin am  110011.（本小题满分 20 分）确定所有的复数 ，使得对任意复数 z1, z2( z1 , z2 1, z1  z2)，均有：(z1 )2 z1  (z2 )2 z22014 年全国高中数学联合竞赛加试一、（本题满分 40 分）设实数a,b,c 满足a  b  c 1，abc  0 .求证：ab  bc  ca abc124二、（本小题满分 40 分）如图，在锐角△ ABC 中，∠BAC ≠60°，过点 B、C 分别作△ ABC的外接圆⊙O 的切线 BD、CE，且满足 BD = CE = BC。直线 DE 与 AB、AC 的延长线分别交于点 F,G ...