特征方程特征根法求解数列通项公式

特征方程特征根法求解数列通项公式 2009年02月07日 星期六 下午 11:31 以下内容整理自课堂笔记 咱们先来复习一下简单的，热热身： 一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数. （1）通常设：A(n+1)-λ ＝p(An-λ ), 则 λ =q／(1-p). （2）此处如果用特征根法： 特征方程为：x=px+q，其根为 x=q/（1-p） 注意：若用特征根法，λ 的系数要是-1 例一：A（n+1)=2An+1 , 其中 q=2,p=1, 则 λ =1/（1-2）= -1 那么 A（n+1）+1=2（An+1） 。。。。。。 二：再来个有点意思的,三项之间的关系： A(n+2)=pA(n+1)+qAn， p,q为常数 （1）通常设： A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn], 则 m+k=p, mk=q （2）此处如果用特征根法： 特征方程是y×y=py+q（※） 注意：① m n 为（※）两根。 ② m n 可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜，嘿嘿 ③ m n 交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。 例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An， 特征方程为：y×y= - 5y+6 那么，m=3,n=2,或者 m=2，n=3 于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1) A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2) 所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3) A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4) you see 消元消去A（n+1），就是An勒 例三： 【斐波那挈数列通项公式的推导】 斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果设 F(n)为该数列的第 n 项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式的推导方法一：利用特征方程 线性递推数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2. 则 F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n F(1)=F(2)=1 ∴C1*X1 + C2*X2 C1*X1^2 + C2*X2^2 解得C1=1/√5，C2=-1/√5 ∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5 表示根号5】 通项公式的推导方法二：普通方法 设常数r,s 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 则r+s=1, -rs=1 n≥3 时，有 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)] F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)] ...