玩转函数第8招函数的对称性

共6 页 第1 页 玩转函数第八招 第2 2 招：函 数 对 称 性 的 探 究 函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。 一.函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点， 点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x) 即 y + f (2a－x)=2b故 f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则 y0 = f (x0) f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即 2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线 x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即 f (x) = f (2a－x) （证明留给大家） 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 满足条件f xaf bx的函数的图象关于直线2abx对称。 如已知二次函数)0()(2abxaxxf满足条件)3()5(xfxf且方程xxf)(有等根，则)(xf＝_____(答：212 xx)； 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则 y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b成轴对称 （a≠b），则 y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线 x =b成轴对称（a≠b），则 y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 共6 页 第2 页 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： 函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， ∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得： f (2b－x) +...