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函数值域的求法

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一、求函数值域的一般方法(注意:求值域必先求定义域):1、直接观察法(利用基本初等函数的值域);2、配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数);3、转化法4、反函数法5、换元法(无理函数)6、不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如 y  x 7、函数的单调性:特别关注 y  x k (k  0) 型函数)xk (k  0) 的图象及性质x8、判别式法(定义域为全体实数的二次分式函数)9、数形结合法在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。二、方法及例题(一)、直接观察法:(利用基本初等函数的值域,从自变量 x 的范围出发,推出 y  f (x)的取值范围)例 1.求函数 y (二)、配方法(是求二次函数值域的基本方法,如 F(x)  af (x)  bf (x)  c 的函数的值域问题,均可使用配方法)注意:遇到二次函数求值域时,要画出简图。2例 2.求函数 y  x  4x  2 ( x 1,3)的值域。x  2 和 y  1的值域。x2变式练习:a. y  x2  2x  2 的值域是______________.b. 已知函数 y  x  2x  3在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是()A、[ 1,+∞)B、[0,2]C、(-∞,2]D、[1,2](三)、转化法(分子、分母是一次函数得有理函数,可用转化法,此类问题一般也可以利用反函数法)例 3.求函数 y 求函数值域小结 :已知分式函数 y 2x的值域。2x  4ax  b (c  0) ,如果在其自然定义域内,值域为cx  da,采用部分分式法将原函数化为y y  ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件)c adac(ad  bc) ,用复合函数法来求值域。y ccx  db 课堂练习:. y (四)、反函数法(直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。)例 4 . 求函数 y=2  x的值域。3x  43x  4值域。5x  6(五)、换元法(运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,如 y  ax  b cx  d (a 、b 、c 、d 均为常数,且a  0)的函数常用此法求解。例 5.求函数 y  4x 课堂练习:求函数 y  2x  1 2x 的值域。(六)、基本...

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