同济第六高等数学教案版第章不定积分

第教学目的：四章不定积分1、理解原函数概念、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。§4 1不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义 1如果在区间 I 上 可导函数 F(x)的导函数为 f(x) 即对任一 xI 都有F (x)f(x)或 dF(x)f(x)dx那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数例如 因为(sin x)cos x  所以 sin x 是 cos x 的原函数又如当 x (1 )时因为( x) 1 所以x 是1的原函数2 x2 x提问:cos x 和1还有其它原函数吗？2 x原函数存在定理如果函数 f(x)在区间 I 上连续 那么在区间 I 上存在可导函数 F(x) 使对任一 x I 都有F (x)f(x)简单地说就是 连续函数一定有原函数两点说明第一 如果函数 f(x)在区间 I 上有原函数 F(x) 那么 f(x)就有无限多个原函数 F(x)C 都是 f(x)的原函数 其中 C 是任意常数第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和 F(x)都是 f(x)的原函数 则(x)F(x)C(C 为某个常数)定义 2在区间 I 上 函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或 f(x)dx )在区间 I 上的不定积分 记作 f (x)dx 其中记号 称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式 x 称为积分变量根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数 那么 F(x)C 就是 f(x)的不定积分 即 f (x)dx  F(x)C 因而不定积分 f (x)dx 可以表示 f(x)的任意一个原函数例 1 因为 sin x 是 cos x 的原函数 所以cosxdx sin xC 因为x 是1的原函数 所以2 x例 2. 求函数 f (x) 1 的不定积分x解：当 x>0 时 (ln x)  1 x 1 dx lnxC (x>0)x当 x<0 时 [ln(x)]  1 (1) 1 xx21 dx x C x x dx ln(x)C (x<0)1合并上面两式 得到 1 dx ln|x|C (x0)x例 3设曲线通...