平面向量的数乘运算练习题一、知识精讲1．向量的数乘运算(1)向量的数乘运算的概念：实数λ与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；当时，与a方向相同；②λa(a≠0)的方向当时，与a方向相反.特别地，当 λ＝0 或 a＝0 时，0a＝0 或 λ0＝0.(2)向量数乘的运算律：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.(3)向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.2．共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使 b＝λa.[小问题·大思维]1．若 λa＝0，则 λ＝0 对吗？提示：不对．当 λa＝0 时，λ＝0 或 a＝0.2．共线向量定理中 b＝λa，a 若为 0 如何？提示：当 a＝0 时，则 λ 不存在(b≠0时)或者不唯一(b＝0 时)．3．已知向量 a，b 不共线，则 m＝a－3b 与 n＝－2a＋6b 共线吗？提示：n＝－2m，故 m 与 n 共线．4．与非零向量 a 共线的单位向量是什么？提示：由于单位向量的长度总等于 1，所以与非零向量 a 共线的单位向量应为± a|a|.二、典例精析（一）向量的线性运算[例 1]13[12(2a＋8b)－(4a－2b)]的结果是()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b[答案]B变式练习：1．若 a＝b＋c，化简 3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝A．－aB．－bC．－cD．以上都不对解析：3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2(b＋c)．又 a＝b＋c，故原式＝－a.答案：A()（二） 几何图形中用已知向量表示未知向量的方法[例 2]如图所示，四边形 OADB 是以向量OA＝a，OB＝b 为11邻边的平行四边形．又BM＝ BC，CN＝ CD，试用 a，b表示OM，33ON ， MN.变式练习：2、在本例条件中，试用 a，b 表示CM.3、设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB上的点，且 DC＝2 BD，CE＝2EA， AF＝2FB，则 AD ＋2 BF ＋CF 与 BC()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直答案：A规律总结：用图形中已知向量表示未知向量，应结合已知和所求，联想相关法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量来表示，其实质是向量线性运算的反复应用。（三）共线定理的应用[例 3]设两非零向量 a 和 b 不共线，如果 AB ＝a＋b，CD...
