一次函数与将军饮马模型、折叠问题综合

北师大版八年级数学上册第四章 一次函数 提高培优讲义： 一次函数与将军饮马模型、折叠问题综合 知识梳理 模块一：一次函数和将军饮马模型综合 “将军饮马”问题比较经典，近两年常出现在压轴题的第2、3 问，但是在考试中往往不是单一出现，而是“将军饮马”模型和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试，综合考察． 模型I：最小问题 模型II：最大问题 模块二：一次函数与折叠问题 一次函数斜率与倾斜角（直线与x 轴正方向所形成的夹角）的关系： 角度 3 0  4 5  6 0  1 2 0  1 3 5  1 5 0  斜率 33 1 3 3 1 33 lP'PBAlB'PABPlABCDP2P1POBAFED'C'CDAOBDCP'PAOBlP'PABlB'PBA方法：解析法（根据折叠前后图像对称）、几何法（解直角三角形） 模块三：例题讲解 如图，已知ABC△三个顶点坐标分别为(0 , 4 )A，( 2 ,2 )B ，(3 , 0 )C，点 P 在线段 AC 上移动．当点 P 坐标为 (1 ,)m 时，请在 y轴上找点 Q，使PQC△周长最小，画出图形并求出 Q点坐标． 【解析】 (0 , 4 )A，(3 , 0 )C，∴直线 AC 的解析式为443yx ； 点 P 在线段 AC 上移动，点 P 坐标为(1, m)，∴81 , 3P， 作 P 点关于 y轴的对称点 P′，连接 P C交 y轴于 Q，此时 PQQCP C ， 根据两点之间线段最短，Q 就是使PQC△周长最小的点；则8'1 , 3P  ∴直线 P′C 的解析式为223yx，∴Q 点的坐标为(0 , 2 ) ． 【提示】这道题主要考查最一般的将军饮马，基本思路： （1）过定点作定直线的对称点； （2）作对称的目的是转移线段． 如图，在直角坐标系中有四个点( 6 , 3 )A ，( 2 , 5 )B ，(0 ,)Cm ，( , 0 )D n，当四边形 ABCD周长最短时，则 mn __________，此时四边形 ABCD 的面积为__________． xyCPAOB xyCPAOBP'Q 【解析】作A 点关于x 轴对称点A，作B 点关于y 轴对称点B，连接A D，B C． 四边形ABCD 周长最短，且AB 长度一定， ∴必须使 ADCDBC最短，即 A、D、C、 B共线，设直线 A B 为 ykxb，则( 6, 3)A' ，(2,5)B'，将其代入直线中得：1k  ，3b ，∴3yx ， (0,)Cm ，( , 0)D n， 则代入直线方程中，得：3m ，3n   ， 因此， 0mn，通过四个点坐标易求出四边...