三角函数公式+习题

第 32 课 三 角 函 数 公 式 ●考试目标 主词填空 1.两角和与差的三角函数. （1）cos(α±β)=sinsincoscos； （2）sin(α±β)=sincoscossin； （3）tan(α±β)= tantan1tantan. 2.倍角公式. (1)sin2α=2sinαcosα; (2)cos2α=2cos2α－1=1－2sin2α=cos2α－sin2α； (3)tan2α=2tan1tan2. 3.半角公式. (1)sin22cos1; (2)cos2 =2cos1； （3）tan2 =cos1cos1. ●题型示例 点津归纳 【例1 】 化简下列各式: (1)23 cos15°－21 cos75°; (2)tan19°+tan41°+3 tan19°·tan41°. 【解前点津】 (1)考虑21,23所对应的特殊角，逆用差角的正弦公式; (2)展开 tan(19°+41°)变形即得. 【规范解答】 (1)原式=sin60°·cos15°－cos60°·sin15° =sin(60°－15°)=sin45°=22 ; (2) tan(19°+41°)=•41tan19tan141tan19tan, ∴3 ×(1－tan19°·tan41°)=tan19°+tan41°,∴原式=3 . 【解后归纳】 对三角函数公式进行逆用或变用，是必须掌握的一项基本功. 【例 2 】 已知2 <β<α<43 ,cos(α－β)=1312 ,sin(α+β)=－53 ,求 sin2α值. 【解前点津】 进行“角变形”.用α+β及α－β的形式表示 2α,就能与条件 对上号! 【规范解答】 由条件知:(α－β)是第一象限角，(α+β)是第三象限角. 故 sin(α－β)>0,cos(α+β)<0 所以, sin(α－β)=13513121)(cos122； cos(α+β)=－54531)(sin122. ∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］ =sin(α－β)·cos(α+β)+cos(α－β)·sin(α+β) =655653131254135. 【解答归纳】 应用三角公式，为了与条件对上号，掌用的变形手段有： ①变角，(本题就是对角进行变形).②变名，(改变函数名称).③变式，(改变式子结构). 【例 3 】 已知－22,22,且 tanα,tanβ是方程 x2+6x+7=0 的两个根，求α+β的值. 【解前点津】 先计算 tan(α+β)的值及α+β的取值范围,再确定α+β值. 【规范解答】 ① －22,22,∴－π<α+β<π. 由根与系数的关系得:tanα+tanβ=－6<0,tanα·tanβ=7>0, ∴tanα<0,tanβ<0,+∴－π<α+β<0. ② tan(α+β)=1716tantan1tantan•,∴α+β...