1 关 于 “二项分布”与“超几何分布”问题举例 一.基本概念 1.超几何分布 一般地,在含有 M 件次品的 N件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件X=k发生的概率为:P(X=k)= nNknMNkMCCC,k= 0,1,2,3,,m ; 其 中 , m = minM,n,且 n N , M N . n,M,N N为超几何分布;如果一个变量 X 的分布列为超几何分布列,则称随几变量X服从超几何分布.其中,EX= n 2 MN 2.二 项 分 布 在n 次 独 立 重 复 试 验 中 , 设 事件 A 发 生 的 次 数 为 X,在 每 次 试 验 中 ,事 件 A 发 生 的 概 率 为 P,那 么 在 n 次 独立 重 复 试 中 ,事 件 A 恰 好 发 生 k 次 的概 率 为 : P(X=k)= Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,3,,n),此时 称 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 . 记 作 : X B(n,p),EX= np 3.“二 项 分 布 ”与“超几何分 布 ”的 联系与区别 3 (1)“二项分布”所满足的条件 每次试验中,事件发生的概率是相同的;是一种放回抽样.各次试验中的事件是相互独立的;每次试验只有两种结果,事件要么发生,要么不发生;随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数. (2)“超几何分布”的本质:在每次试验中某一事件发生的概率不相同,是不放回抽样,“当样本容量很大时,超几何分布近似于二项分布; (3)“二项分布”和“超几何分布”是两种不同的分布,但其期望是相等的.即:把一个分布看成是“二项分布” 4 或 “超几何分布”时,它们的期望是相同的.事实上,对于“超几何分布”中,若 p= MN ,则 EX= ninNknMNkM CCCk1 = nMN .“超几何分布”和“二项分布”的这种“巧合”,使得“超几何分布”期望的计算大简化. 共同点:每次试验只有两种可能的结果:成功或 失败。 不同点:1、超几何分布是不放回抽取,二项分布是放回抽取; 2、超几何分布需要知道总体的容量,二项分布不需要知道总体容 5 量 , 但 需 要 知 道 “成功率”; 联系:当产品的总数很大时, 超几何分布近似于二项分布。 因此, 二项分布模型和超几何分布模型最主要 的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.所以, 在解有关二项分布和超几何分布问题时, 仔细阅读、辨析题目条件是非常重要 的. 二.典型例题 例 1:袋中有 8 个白球、2 个黑球,...