可逆矩阵doc

2 .4 可逆矩阵 授课题目 2 .4 可逆矩阵 授课时数：4课时 教学目标：掌握可逆矩阵及逆矩阵的概念，可逆矩阵的性质，求逆矩阵的公式 可逆矩阵的判定，用初等变换求逆矩阵，用初等变换求解矩阵方程 教学重点：可逆矩阵的判定，用初等变换求逆矩阵，求逆矩阵的公式，用初等变换求解矩阵方程 教学难点：用初等变换求逆矩阵，用初等变换求解矩阵方程 教学过程： 一、可逆矩阵的定义及性质 1、可逆矩阵的定义 解 BAnn时需要满足CA=-I 的C 的存在性问题。 定义1，对于n 阶矩阵A，若存在n 阶矩阵A，若存在n 阶矩阵B 使得 AB=BA=I 则称A 为可逆矩阵（或非奇异矩阵），或A 可逆称B 为A 的逆矩阵 从下面几点加深理解：01 要求A 是方阵，非方阵不加以讨论（广义逆）；02 条件是两等式成立（双边乘A 等于单位阵）；o3 能否用BA=I（单边）定义，04 若A 可逆，A的逆矩阵是否唯一？05 条件“AB=BA=I”中，A，B 的相互性 2、可逆矩阵的逆矩阵的唯一性 证 事实上设12BB，都是A 的逆矩阵，便有 1112222BB IBABABIBB1（）= （B） A 可逆，用1A表示 A 的唯一的逆矩阵，1AA=A1A=I 3、可逆矩阵的性质 设 A，B 可逆 1)1A 可逆且11)(A=A； 注意用定义证一些简单结论 证 由于111A AAAI,AA知与互为逆矩阵，且11AA （） 2)111)( ABAB（穿脱原理） 证 因为A，B 均可逆，知11AB，存在，且有 111111111111B AABBA ABB IBB BIABB AABBAAIAAAI（）（）（）（）（）（） 所以AB 可逆，且111)( ABAB 推广1111112nnn121AA )A AA A（A 3)TTAA)()(11  两运算可交换顺序 证 因为A 可逆，有11A AAAI,两边取转置得1T1TTT1T(A A)(A ) AA (A )I 所以T11 TAAT可逆，且（A ）（） 4、可逆性的初步判定 1）初等矩阵的可逆性 初等矩阵是可逆的，它们的逆是同类的初等矩阵。 111ijijiiijij1PP ,D (k )D ( ),T (k )T ( k )k 2）不可逆矩阵的实例 不可逆011111110,0010nn    （推广：有一行（列）为零时） 二、可逆矩阵的判定： 1、基本定理 定理2.4.1 初等变换不改变矩阵的可逆性 证 设 A 经过一次初等行变换得到 B，那么...