二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方

精品文档---下载后可任意编辑二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题.§8.1 二次型及其矩阵表示在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： (1.1)要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去项,通常的坐标变换公式为: (1.2)从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式.定义 8.1.1 设是数域上的元二次齐次多项式: (1.3)称为数域上的元二次型,简称二次型. 假如数域为实数域,则称为实二次型; 假如数域为复数域,则称为复二次型; 假如二次型中只含有平方项,即称为标准形式的二次型,简称为标准形.说明: 在这个定义中,非平方项系数用主要是为了以后矩阵表示的方便.例下列多项式都是二次型:下列多项式都不是二次型:定义 8. 设是两组文字,系数在数域中的一组关系式 (1.4)称为由到的一个线性替换,或简称线性替换. 假如系数行列式,那么线性替换(1.4)就称为非退化的.在讨论二次型时,矩阵是一个有力工具,因此我们先把二次型用矩阵来表示.令 , 则有 , 于是(1.3)式可以改写为记 则二次型可记为 , (1.5)其中是对称矩阵. 称(1.5)式为二次型的矩阵形式.例 8.二次型 的矩阵形式为说明: 任给一个二次型就唯一地确定一个对称矩阵. 反之,任给一个对称矩阵可唯一地确定一个二次型. 因此, 二次型与对称矩阵之间有着一一对应的关系. 把对称矩阵称为二次型的矩阵,也把称为对称矩阵的二次型. 称对称矩阵的秩为二次型的秩.例给定对称矩阵220axbxycydxeyfcossinsincosxxyyxy21211 11212112222232322221,111,1( ,,,)22222nnnnnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa xa x xa x xaxaxxa x222121 122( ,,,)nnnf x xxd xd...